funciones de varias variables

Universidad Nacional de La Plata – Facultad de Ciencias Exactas
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ANALISIS
MATEMATICO
II (CiBEx - F´ısica M´
edica)
2014 – Segundo Semestre
GU´
IA Nro. 3: FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES

1.

Definici´
on y representaciones gr´
aficas

En general, al estudiar fen´
omenos del mundo real es usual que una cantidad dependa de m´
as de una variable. Por ejemplo, el servicio meteorol´
ogicoinforma el ´ındice de sensaci´
on t´ermica I que refleja el efecto que
ejerce la acci´
on del viento sobre la temperatura real del aire; este ´ındice combina, bajo determinadas condiciones, la velocidad del viento v y la temperatura real T , mediante una funci´
on de dos variables: I(v, T ).
As´ı tambi´en, una dada carga el´ectrica (ubicada, digamos, en el origen de un sistema de referencia)produce
sobre otra carga (ubicada en P (x, y, z) ) una fuerza atractiva si ambas cargas son del mismo signo, o repulsiva si son de signos opuestos; esta fuerza var´ıa de un punto a otro del espacio y se puede estudiar el
problema definiendo el llamado potencial el´ectrico V en t´erminos de la posici´
on relativa de las cargas, en
este caso mediante una funci´
on de tres variables: V (x, y, z). Por otrolado, si en un laboratorio se quiere
especificar la tasa de reacci´
on R de una soluci´
on que consta de cuatro sustancias qu´ımicas en proporciones
a, b, c, d, se requiere una funci´
on de cuatro variables: R(a, b, c, d).
Vemos entonces que para estudiar este tipo de situaciones es necesario ampliar las ideas del c´
alculo de
funciones de una variable, a funciones escalares de varias variables.En l´ıneas generales, vamos a
estudiar los conceptos que ya vimos en An´
alisis I, pero extendiendo ahora a m´
as de una variable. En esta
gu´ıa veremos, entre otras cosas, c´
omo representar gr´
aficamente una funci´
on con muchas (2 ´
o 3, en realidad)
variables y c´
omo estudiar los cambios parciales que sufre una funci´
on cuando cambia alguna de sus variables (esto conduce a la noci´
on de“derivaci´
on parcial”). En la Gu´ıa 4 estudiaremos c´
omo caracterizar los
puntos cr´ıticos en la b´
usqueda de valores m´
aximos y m´ınimos de una funci´
on multivariable, y en la Gu´ıa 5
hablaremos de integraci´
on de este tipo de funciones.

1.1.

Funciones escalares de n variables

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DEFINICION:
Una funci´
on real f de n variables es una regla que asigna a cada n-upla de n´
umeros reales (x1 , x2, . . . , xn ),
un u
´nico n´
umero real f (x1 , x2 , . . . , xn ).
Se llama dominio de f , Dom (f ), al subconjunto de Rn en el cual est´a definida la funci´on f .
La imagen o rango de f , Im (f ), es el subconjunto de R formado por los valores que toma la funci´
on f .
Escribimos:
f : D ⊂ Rn → R
Si no indicamos ninguna condici´
on especial sobre el dominio de f , se entender´a que Dom (f ) es el“dominio
natural”, es decir, el conjunto de todas las n-uplas de n´
umeros reales (x1 , x2 , . . . , xn ) para las cuales la
expresi´on que define a f es un n´
umero real bien definido. Por ejemplo, la funci´on f (x, y, z, t) = sen(x2 +
y 2 + z 2 − t2 ) tiene dominio R4 (f est´
a bien definida para cualesquiera x, y, z, t reales). Dada la funci´
on de
3-1

dos variables f (x, y) = y − x2 , sudominio natural es el conjunto de todos los puntos (x, y) de R2 para
los cuales la expresi´
on y − x2 es un n´
umero real bien definido. Luego el radicando y − x2 no puede ser
negativo, con lo cual Dom (f ) = {(x, y) : y ≥ x2 }. En el plano coordenado xy, dicho conjunto corresponde
a los puntos de la par´
abola y = x2 y todos los puntos por encima de ´esta. Por otro lado, a partir de la
expresi´onde f podemos deducir que esta funci´on no toma nunca valores negativos, pero s´ı cero o cualquier
valor positivo, o sea Im (f ) = [0, +∞).
En esta asignatura, nos concentraremos pr´
acticamente en el estudio de funciones de n = 2 y n = 3 variables.
La mayor´ıa de las aplicaciones que veremos se refieren a problemas o fen´omenos que se pueden modelar en
t´erminos de 2 y 3 cantidades. Adem´
as...