FUNCIONES DERIVADAS

DERIVADAS

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tantoel ángulo α tiende a ser β.


La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)
Dada la parábola f(x) =x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, portanto su pendiente es m = 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a laderivada en el punto x = a.





Derivada por la izquierda

Derivada por la derecha

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por laizquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.


Derivada de las funciones a trozos
En las funciones definidas a trozos es necesarioestudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.
Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.



Puesto que las derivadaslaterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Portanto en esos puntos no existe la derivada.



No es derivable en x = 0.

Derivabilidad y continuidad
Si una función es derivable en un punto x = a, entonces escontinua para x = a.
El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.