Funciones exponenciales como modelo matemático

Funciones exponenciales y logarítmicas

FUNCIONES EXPONENCIALES

Las funciones exponenciales son de la forma f(x) = a(bg(x)), donde g es función de x; por ejemplo, f(x) = 4000(0.5)2x, A(x) = 60e0.04x, etcétera.
Analicemos primero la función exponencial de base b, cuya ecuación es: y = bx la cual es el caso particular de y = a(bx) cuando a = 1. La función exponencial y = bx sólo estádefinida cuando b es mayor que cero y diferente de 1 (esto es, b > 0 y b ≠ 0).

LOGARITMOS

El logaritmo de un número positivo M en base b, donde b > 0 y b ≠ 1 es el exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número M. Es decir:
bx = M equivale a x = logb M

Enseguida se presentan algunos ejemplos:
1. Log2 4 = 2, ya que22 = 4
2. Log3 1/27 = -3, ya que 3-3 = 1/27
3. Log2 8 = 3, ya que 23 = 8
4. Log1/3 81 = -4, ya que (1/3)-4 = 34 =81
5. Log5 √5 = 1/2, ya que 51/2 = √5

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

La resolución de las ecuaciones logarítmicas y exponenciales se basa en la aplicación de las propiedades de la potenciación y de los logaritmos.

EJERCICIOS
1) Log3 x = 2.5R = En este problema la base es 3 y su exponente 2.5; por lo tanto, x = 32.5. Para evaluar 32.5 usando logaritmos, debemos encontrar el logaritmo de base 10 de 32.5 y después su antilogaritmo, lo que es el resultado de la operación 32.5.
x = 32.5
Log x = Log 32.5
Log 32.5 = 2.5 Log 3
Log (3)2.5 = 2.5(0.4771)
Log x = 1.1928
2) Logx 125 = 3
3√x3 = 3√125
X = √5
3) Log81 x = ½
√x2 = √81x = √92
|x| = 9
x = 9 o x = -9
*Como x (es decir, el argumento) debe ser un número real mayor que cero, entonces la única solución cálida es x = 9



Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece al menos en un exponente. Para resolver este tipo de ecuaciones se utilizan las propiedades de los logaritmos y las de la potenciación, como se muestra en el ejemplosiguiente: 2x = 8
Una forma de resolver esta ecuación es la siguiente. Observa que 8 es igual a 23; por tanto, la solución de la ecuación referida es x = 3.
Esta ecuación también puede resolverse aplicando esta propiedad. Si a = b, donde a y b son dos número reales mayores que cero, entonces log a = log b; es decir:
Si 2x = 8, entonces
Log 2x = log 8, de done
xlog 2 = log ; al despejar la xresulta
x = 0.90309/0.30103, luego
x = 3
EJERCICIOS
2) 47(2.7)x = 3856
2.7x = 3856/47
2.7x = 82.0425
log 2.7x = log 82.0425
x log 2.7 = log 82.0425
x = log 82.0425/log 2.7
x = 4.4372
LAS FUNCIONES EXPONENCIALES CÓMO MODELO MATEMÁTICO

La variación de muchas magnitudes en ciencias cómo la física, la química, la biología y otras disciplinas, puede describirse por medio de funcionesexponenciales; por ejemplo, el crecimiento de un cultivo de bacterias, el de una población, etcétera. Por ello, a continuación les presentamos algunos ejemplos de la aplicación de las funciones exponenciales.
El número de bacterias presentes en un cultivo después de x días se determina por medio de la ecuación y = 400 (2)x .
Para determinar, el número de bacterias que habrá después de x cantidad dedías hacemos lo siguiente:
Supongamos que x = 3 , por lo tanto:
y = 400 (2)3
y = 400 (8)
y = 3200
Después de tres días habrá 3200 bacterias.
¿ Y si queremos conocer después de cuanto tiempo habrá 102,400 bacterias?
En este caso, la incógnita sería la variable x, así que, por ende, para hallar su valor se requiere resolver esta ecuación exponencial:
400(2)x = 102,400
(2)x = 102,400 / 4002x = 256
Tenemos que log 2x = log 256
x log 2 = log 256
x = log 256 / log 2
x = 8
En 8 días habrá 102,400 bacterias en el cultivo.
EJERCICIOS
El valor comercial (v) de un automóvil después de t años de uso se determina mediante la ecuación v = 80,000 (0.88)t . Determina el valor del auto cuando tenga 12 años de uso, el valor del auto cuando era nuevo y a los cuántos años de uso, el...