Funciones exponenciales y logaritmicas

Funciones exponenciales Funciones logartmicas Leyes de los logaritmos La base e Crecimiento y decrecimiento exponencial Notacin cientfica Logaritmos comunes y sus aplicaciones Funciones exponenciales Imagine usted que un cultivo de bacterias crece con tal rapidez que, a cada hora, el nmero de bacterias se duplica. En estas condiciones, s haba 10,000 bacterias cuando el cultivo empez a crecer,el nmero habra aumentado a 20,000 despus de una hora, habra 40,000 despus de 2 horas y as, sucesivamente. Se vuelve razonable decir que y f(x) (10,000)2x nos da el nmero de bacterias presentes despus de x horas. Esta ecuacin define una funcin exponencial con la variable independiente x y la variable dependiente (o funcin) y. Una funcin como f(x) bx, que tiene a la variable como exponente,se conoce con el nombre de funcin exponencial. Estudiaremos este tipo de funciones con la suposicin de que la base numrica b 0. Por ejemplo, tomemos en consideracin la funcin y f(x) 2x con su grfica. Observe lo siguiente La funcin se define para todos los valores reales de x. Cuando x es negativa, podemos aplicar la definicin de los exponentes negativos. As, para x -2, EMBED Equation.3EMBED Equation.3 El dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales. Para todos los reemplazos, de x, la funcin adquiere un valor positivo. O sea, 2x no puede representar jams un nmero negativo y tampoco es posible que 2x se haga igual a cero. El rango de la funcin es el conjunto de los nmeros reales positivos. Por ltimo, como ayuda para elaborar la grfica, se pueden localizar unoscuantos pares ordenados de nmeros especficos. Si se desea, la exactitud de esta grfica se puede mejorar usando ms puntos. Por ejemplo, tomamos en cuenta valores racionales de x, como EMBED Equation.3 o EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Se puede usar una calculadora para entender mejor los nmeros como EMBED Equation.3 . Porejemplo, verifique usted estas potencias de 2, con aproximacin hasta diezmilsimos. 21.4 2.6390 21.41 2.6574 21.414 2.6647 21.4142 2.6651 Dado que los exponentes con decimales estn acercndose cada vez ms al nmero irracional EMBED Equation.3 , las potencias correspondientes se aproximan a EMBED Equation.3 . As, las aproximaciones exponenciales sugieren que EMBED Equation.3 , con laaproximacin hasta centsimos. Ahora, encuentre usted directamente EMBED Equation.3 con una calculadora y compare los resultados. En estudios ms avanzados se puede demostrar que, para cualquier base positiva a y b. se cumplen las siguientes reglas de los exponentes, representados por nmeros reales cualesquiera, r y s. Nuestro trabajo previo con estas mismas reglas, para exponentes racionales, puedeservir de base ahora para aceptar estos resultados. EJEMPLO 1 Elabore la grfica de la curva correspondiente a y 8x en el intervalo -1, 1, usando una tabla de valores. Solucin Hasta aqu hemos restringido nuestra atencin a las funciones exponenciales de la forma y f(x) bx, donde b 1. Todas estas grficas tienen la misma forma de la funcin y 2x. Para b 1, y bx 1x 1 para todo valor de x.Como en este caso se trata de una funcin constante. f(x) l, no usamos la base b 1 en la clasificacin de las funciones exponenciales. Ahora, exploremos las funciones exponenciales y f(x) bx para las cuales tenemos 0 b 1. En particular, si EMBED Equation.3 , tenemos EMBED Equation.3 o sea y 2-x . Tambin es posible elaborar la grfica de EMBED Equation.3 relacionndola con la grfica deEMBED Equation.3 . Como EMBED Equation.3 , los valores de y para la funcin g son los mismos valores de y correspondientes a f, pero en el lado opuesto del eje de las y. En otras palabras, la grfica de g es el reflejo de la grfica de f, respecto del eje de las y. EJEMPLO 2 Use la grfica de y f(x) 2x para trazar las curvas definidas por EMBED Equation.3 e EMBED Equation.3...