Funciones exponenciales

Módulo II:

FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARITMICAS y TRIGONOMÉTRICAS

LIMITE DE FUNCIONES

Ampliar y profundizar estos conceptos básicos en el texto: Haeussler, E. and Paul, R. Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida.

CAPÍTULO 5: Funciones exponencial y logarítmica
5.1 Funciones exponenciales. 5.2 Funciones logarítmicas. 5.3 Propiedades de loslogaritmos. 5.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales. 5.5 Repaso. Aplicación práctica: Dosis de medicamento
CAPÍTULO 9: Límites y continuidad
9.1 Límites. 9.2 Límites (continuación). 9.3 Interés compuesto continuamente. 9.6 Repaso.
Aplicación práctica: Deuda nacional.

FUNCIONES EXPONENCIALES

Situación- Problema I:

Si un capital de $100 es invertido a una tasa del 5% de interés compuestoanual. ¿Cuánto se obtiene como monto al finalizar el año x de inversión?

En general:

La función que permite modelar el Capital Final CF (cantidad final) que se obtiene a partir de un capital inicial CI (principal) al finalizar una inversión de x años a una tasa r de interés compuesto es:

[pic]

Situación- Problema II:

Si una población de 100.000 habitantes crece a razón del 0,8%anual ¿Cuántos individuos se podrán contabilizar en dicha población si se censa después de x años?

En general:

La función que permite modelar la cantidad de individuos P de una población, a partir de una población inicial P0 si el crecimiento anual se estima a una razón de r % es:

[pic]

En esta situación la variable independiente x aparece como el exponente de una potencia este tipo defunciones se denominan:

Definición:
Llamamos función exponencial a una función que verifica:
f (x) = [pic]

donde la base a es un número real, que cumple a > 0 y a ≠ 1

Propiedades de la Función Exponencial de base mayor que 1:

[pic] con [pic]

▪ Dom f = R
▪ Img f = [pic]
▪ Interseca al eje y en (0,1)
▪ No interseca al eje x
▪ Es una función creciente
▪ Si[pic] es [pic]
▪ Si [pic] es [pic]

1

2 Ejemplo: Operaciones con la función exponencial

Obtener: ¿Dom f ? ¿Img f ? ¿Corte con el eje y ?

Propiedades de la Función Exponencial de base positiva menor que 1:

[pic] con [pic]

▪ Dom f = R
▪ Img f = [pic]
▪ Interseca al eje y en (0,1)
▪ No interseca al eje x
▪ Es una función decreciente
▪ Si [pic] es [pic]
▪ Si[pic] es [pic]

Dos funciones exponenciales particulares:

y = e x = (2,7172....) x Crecimientos Naturales

y = 10 x Base Decimal

Ejemplo: Si un capital de $100 es invertido a una tasa del 5% de interés compuesto anual.

a) ¿Cuánto se obtiene como monto al finalizar el primer año de inversión?

Como conocemos que el capital final CF que se obtiene a partir de uncapital inicial CI al finalizar la inversión después de x años a una tasa r de interés compuesto es una función exponencial de la forma [pic] entonces:

[pic]

a) ¿Cuánto se obtiene como monto al finalizar el segundo año de inversión?

Ahora tenemos:

[pic]

Ejemplo: Si una población de 100.000 habitantes crece a razón del 0,8% anual ¿Cuántos individuos se podrán contabilizar en dichapoblación el próximo año?

Como la función que modeliza la cantidad de individuos P de una población, a partir de una población inicial P0 si el crecimiento anual es a razón del r %, es una función exponencial de la forma [pic] entonces:

[pic]habitantes

¿Cuántos individuos se podrán contabilizar en dicha población si el censo se realiza en diez años?
[pic]habitantes

Ejemplo:Veamos el crecimiento que presenta la siguiente población de conejos, donde cada pareja de estos animales es fértil luego del primer mes de vida, tras lo cual se reproduce y nace una nueva pareja. El ritmo de crecimiento es exponencial, descripto por la famosa Sucesión de Fibonacci:

[pic]

[pic]

Para pensar: ¿Cuál es el Dom P (x)?
¿Es esta función creciente o decreciente?...