Funciones exponenciales

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Cap¶³tulo 7
La Funci¶on Exponencial y la Funci¶on
Logar¶³tmica
M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr¶³guez S.
Instituto Tecnol¶ogico de Costa Rica
Escuela de Matem¶atica
¢ ¢ ¢
Revista digital Matem¶atica, educaci¶on e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)
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Cr¶editos
Primera edici¶on impresa: Rosario ¶Alvarez, 1984.
Edici¶on LaTeX: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac¶on,Mar¶³a Elena Abarca, Lisseth Angulo.
y Walter Mora.
Colaboradores: Cristhian Pa¶ez, Alex Borb¶on, Juan Jos¶e Fallas, Je®rey Chavarr¶³a
Edici¶on y composici¶on ¯nal: Walter Mora.
Gr¶a¯cos: Walter Mora, Marieth Villalobos.
Comentarios y correcciones: escribir a wmora2@yahoo.com.mx
Contenido
7.1 La funci¶on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3
7.1.1 Representaci¶on del gr¶a¯co de la funci¶on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7.1.2 Algunas propiedades de la funci¶on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
7.1.3 La funci¶on exponencial de base e ¼ 2; 718281::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
7.2 La funci¶on logar¶³tmica y sus propiedades . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7.2.1 Representaci¶on del gr¶a¯co de la funci¶on logar¶³tmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7.2.2 Algunas propiedades de la funci¶on logar¶³tmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7.2.3 La funci¶on logar¶³tmica de base e (e ¼ 2; 718281) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7.2.4 La funci¶on logar¶³tmica de base10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7.2.5 Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.1 La funci¶on exponencial
En temas anteriores, hemos de¯nido el signi¯cado de expresiones de la forma ax, con \a" un n¶umero real posi-
tivo y x un n¶umero racional, por ejemplo conocemos el signi¯cado de 20; 23; 25;23
5 ; 21
2 , pero por el contrario
no conocemos el signi¯cado de expresiones como 2
p
3; 2¼, etc. Puesto que en este cap¶³tulo nos interesa estudiar
expresiones de la forma ax, aceptaremos sin demostrar, que estas expresiones est¶an de¯nidas para todo n¶umero
real x, si a 2 R; a > 0.
De¯nici¶on 1
Sea a 2 R; a > 0; a 6= 1, se llama funci¶on exponencial de base \a", y se denota Expa, a lafunci¶on de¯nida
por:
Expa : R ¡! ]0;+1[
x ¡! ax
Observaciones
1. De la de¯nici¶on anterior se tiene que Expa(x) = ax
2. La restricci¶on a > 0, es indispensable, pues si a fuera cero o un n¶umero negativo, se presentar¶³an algunas
expresiones no de¯nidas en R, tales como 0¡1; (¡2) 1
2 ; 00, etc.
3
4 La funci¶on exponencial y la funci¶on logar¶³tmica
3. El caso a = 1 se ha excluido debidoa que en este caso se tendr¶³a 1x = 1, para cada x 2 R, o sea que 1x
es una funci¶on constante.
Ejemplos de funciones exponenciales
a.) La funci¶on f de¯nida por f(x) = 2x es la funci¶on exponencial de base 2.
b.) La funci¶on g de¯nida por g(x) =
µ
1
2
¶x
es la funci¶on exponencial de base
1
2
7.1.1 Representaci¶on del gr¶a¯co de la funci¶on exponencial
Ejemplo 1
Considere lasfunciones exponenciales de¯nidas respectivamente por: Exp2(x); Exp1
2
(x)
Realice el trazo de estas funciones.
Soluci¶on
Para realizar el trazo de estas funciones debemos construir, para cada una de ellas una tabla de valores conve-
niente de la manera siguiente:
x ¡2 ¡1 0 1 2
Exp2(x)
1
4
1
2
1 2 4
x ¡2 ¡1 0 1 2
Exp1
2
(x) 4 2 1
1
2
1
4
J. Rodr¶³guez S. A. Astorga M. 5
7.1.2Algunas propiedades de la funci¶on exponencial
Si f(x) = ax; a > 1
1. f(x) > 0, para toda x 2 R
2. f(0) = 1
3. f(1) = a
4. f es biyectiva.
5. f es creciente en todo su dominio.
6. Si x tiende a +1 entonces ax tiende a +1
7. Si x tiende a ¡1 entonces ax tiende a 0
Si g(x) = ax; 0 < a < 1
1. g(x) > 0; para toda x 2 R
2. g(0) = 1
3. g(1) = a
4. g es biyectiva.
5. g es decreciente en todo...