Funciones Exponenciales.

Función exponencial

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde es el numero de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp. (x), donde e es la base de los logaritmos naturales ycorresponde a la función inversa del logaritmo natural.

*La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)= (-9)1/2 notendrían sentido en los números reales.
El dominio de la función exponencial está formado por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.





|Definición |[pic] |
|Tipo |Función real |
|Dominio|[pic] |
|Codominio |[pic] |
|Imagen |[pic] |
|Propiedades |Biyectiva |
| |Convexa|
| |Estrictamente creciente |
| |Trascendente |


Propiedades

La función exponencial (y exponencial en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.

▪ Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, enel caso de que tengan una base distinta a e)
▪ [pic]
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▪ su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞

Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:
 
1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).
2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
3)  El eje de x es la asíntota horizontal.
4)  Si  b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conformeaumenta x.
5)  Si  0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.
6)  La función f es una función uno a uno.


Derivada

La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

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Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta lamultiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

▪ La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
▪ La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
▪ La función es solución de la ecuación diferencial [pic].
Si la base de la exponencial no es el número e, sino otronúmero real arbitrario a mayor que 0, entonces la derivada de ésta es:

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Donde la función ln denota el logaritmo natural.



Funciones Logarítmicas:
Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.  Como la notación f-1  se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas.  Si f(x) = bx,en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el  “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo. 



Logaritmo:

El logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10...