Funciones Exponenciales

Exponenciales y logaritmos a partir de ecuaciones diferenciales Prociencia - grupo 3

Índice general
Capítulo 1. Introducción Capítulo 2. Ecuación del movimiento de Newton Capítulo 3. Caída libre con resistencia Capítulo 4. Problemas modelados por ecuaciones de la forma x = ax 1. Caída libre en un medio viscoso 2. Un modelo simplificado para la presión atmosférica 3. Descarga de uncondensador 4. Crecimiento de poblaciones y decaimiento radioactivo 5. Enfriamiento de cuerpos Capítulo 5. La ecuación x = x y la función exponencial 1. Multiplicidad de soluciones y problemas de valores iniciales 2. Invariancia en el tiempo y propiedad de grupo 3. Solución de problemas iniciales cualesquiera para x = ax 4. Propiedades notables de la exponencial Capítulo 6. Intuiciones acerca del número e1. Derivadas de funciones exponenciales 2. Discretización de la ecuación y número e Capítulo 7. Aplicaciones de la función exponencial 1. Análisis de los problemas con ecuaciones del tipo x = ax 2. Interés continuo 3. Distribución exponencial en probabilidades Capítulo 8. Los logaritmos 1. Algunos problemas que conducen a invertir la exponencial 2. Definición y propiedades del logaritmo en base e 3.Logaritmos y proporcionalidad inversa 4. El papel del número e 5. Aplicaciones Capítulo 9. Refinamiento y aplicaciones de los modelos de caída libre 1. El modelo sin resistencia del aire 2. El modelo con resistencia lineal 3. El modelo con resistencia cuadrática 4. Introduciendo algunas simplificaciones crudas 5. Comentarios finales
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CAPíTULO 1

Introducción
Estas notas apuntan a la presentación de la función exponencial x(t) = et a partir del problema de valores iniciales (1) x = x, x(0) = 1,

y a mostrar que esta aproximación permite derivar todas sus propiedades. De hecho, si se recurre a argumentos generales de la teoría de las ecuaciones diferencias para mostrar la existenciade soluciones del problema (1), es posible hacer una presentación completa y rigurosa de la función exponencial por esta vía. No incluimos en este material los resultados de existencia, pero están disponibles en muchos lugares de la literatura. De todos modos, nuestra princial intención no es la de ofrecer un tratamiento riguroso completo, sino la de recorrer una visión alternativa a lapredominante en los cursos de cálculo, que habilite a establecer conexiones con otros temas de la matemática y sus aplicaciones, enriqueciendo así la visión sobre estos temas. La consideración de problemas como (1) estará motivada por la modelizació de diversas situaciones, fundamentalmente de problemas físicos. Discutiremos también por qué el número e es natural como base para las potencias y los logaritmosy presentaremos argumentos heurísticos que llevan a conjeturar algunas de las posibles definiciones de esta constante fundamental de la matemática.

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CAPíTULO 2

Ecuación del movimiento de Newton
Cuando un cuerpo se mueve en el espacio son las fuerzas que actúan sobre él las que determinan su estado de movimiento. Pero no lo hacen afectando directamente la posición ni la velocidad, sinomodificando el valor de la aceleración. Esto se corresponde directamente con algunos hechos de nuestra experiencia: por ejemplo, cuando empujamos un automóvil usando toda nuestra fuerza, al comienzo apenas conseguimos que se mueva muy lentamente. Si perseveramos, poco a poco lo veremos ganar velocidad. Pero, por más fuerza que hagamos, no podemos conseguir dotar inmediatamente al coche de unavelocidad prodigiosa. De hecho, el tiempo que demoran en alcanzar los cien kilómetros por hora es uno de los parámetros que los fabricante de autos deportivos comunican al público: ni siquiera un motor potentísimo puede acelerar instantáneamente un vehículo. También es imposible conseguir que la posición del vehículo se modifique instantáneamente apareciendo de súbito en la otra esquina. La ley de...