Funciones graficas

ANALISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES GRAFICAS  Definición de Función: Una función es una relación (o correspondencia) entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Ejemplo:

A la variable que se fija previamente se le llama variable independiente. A la variable que se deduce de la anterior se le llama variable dependiente ya queesta variable depende de los valores de la otra variable previamente fijados. Observación: Las funciones pueden venir dadas por tablas, gráficas, fórmulas, relaciones, etc. Definición de Función Real de variable Real: es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales otro numero Real (y es función de x (f(x)=y)). Toda función queda determinada porel conjunto de pares de números reales (x,y)=(x,f(x)), donde x es la variable independiente que pertenece al dominio de f.
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 Al conjunto de los valores de la variable independiente se le llama dominio de la función o campo de existencia.  Al conjunto de los valores de la variable dependiente se le llama recorrido o imagen de la función. El recorrido de la función es un subconjunto delconjunto final.
f ( x)  2x x2  4

Ejemplo: En la función f de R en R, definida por , determinar el conjunto inicial, el conjunto final y dominio. El conjunto inicial es R.El conjunto final es R. El dominio es el subconjunto de R, donde realmente está definida la función. Como en los valores que anulan al denominador la función no esta definida, se tiene que el dominio es D = R - {-2, 2}.

 Lagráfica o curva de la función f es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación f(x)=y. Ejemplos:

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 Estudio local de funciones : 1. Dominio: Indica donde esta definida la función. Son los posibles valores de x, que tienen una imagen f(x). Ejemplos:

2. Continuidad: Continuidad y discontinuidad: Una función es continua cuando a variaciones pequeñas dela variable independiente le corresponden variaciones pequeñas de la variable dependiente. Ejemplos de Discontinuidades posibles:

3. Simetrías : 3.1. Respecto el eje y : f(x) = f(-x) Observación Se corresponden con las potencias pares de las x, ya que cualquier numero negativo al elevarlo a una potencia par el resultado es siempre positivo. 3.2. Respecto de 0 : f(x) = -f(x) Ejemplo:

4.Puntos de corte con los ejes : 4.1. Punto de corte con eje Y : x = 0... f(0) = ?. 4.2. Punto de corte con eje X : y = 0 ; f(0) = 0 ....x = ?.

Ejemplo:

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5. Crecimiento y decrecimiento :

f’(x)=0........x son los valores donde la función ni crece ni decrece. Son los máximos o mínimos. f’(x+ e) > o ......La función crece a la derecha del punto x. f’(x+ e) < o ......La función decrece a laderecha del punto x. f’(x - e) > o ......La función crece a la izquierda del punto x. f’(x - e) < o ......La función decrece a la izquierda del punto x. Ejemplo:

6. Máximos y mínimos: Hacemos x tal que f’(x) = 0. Comprobamos que vale f”(x).

f”(x) > 0.....Mínimo (x, f(x)). f”(x) < 0.... Máximo (x, f(x)). Ejemplo:

7. Concavidad y convexidad: Hacemos x tal que f”(x) = 0. Comprobamos :

f”(x+e) > o ......La función es convexa a la derecha del punto x. f”(x+ e) < o ......La función es cóncava a la derecha del punto x. f”(x- e) > o ......La función es convexa a la izquierda del punto x. f”(x- e) < o ......La función es cóncava a la izquierda del punto x. Ejemplo:

8. Puntos de inflexión: Hacemos x tal que f”(x)=0. Comprobamos f ‘’’(x).

Si f’’’’(x) ¹ 0, (x, f(x)) es punto deinflexión. Ejemplo:

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9. Limites: Hacemos Lim f ( x ) .
x

Ejemplo:

10. Asíntotas : 10.1. Horizontal (  , b) , Lim f ( x)  b ; b   .
x

10.2. Vertical

a, ,
x

Lim f ( x )   ; a   .
xa

10.3. Oblicua : Si Lim f ( x )   , hallamos la recta y = mx + h, donde

m  Lim
x

f ( x) ,y x

h  Limf ( x )  mx )
x 

Ejemplos:

3. LIMITES:  Casos...