Funciones graficas

GRÁFICAS DE FUNCIONES

página 109

4.1 REPRESENTACIONES Los conceptos matemáticos son ideas intangibles que solamente existen en la mente humana, no pueden ser captadas por los sentidos, por lo que deben ser representadas de alguna forma. En particular, una función puede ser representada con una simbología algebraica, como por ejemplo

y = x 2 + 11x + 30 , pero también se puede representarcon una gráfica como en la figura 4.1.

figura 4.1

Ambas representaciones, la algebraica y la gráfica, son la misma cosa, definen la misma idea aunque visualmente parezcan diferentes. Lo importante es que de cualquiera de las dos maneras

página 110

GRÁFICAS DE FUNCIONES

la idea puede ser captada por el sentido de la vista lo que inicialmente era intangible. Por ejemplo, en y = x 2 +11x + 30 , relaciona x = − 4 con y = 2 . Desde la simbología algebraica lo que se hace es

y = x 2 + 11x + 30

y = ( − 4 ) + 11 ( − 4 ) + 30
2

y = 16 − 44 + 30 y=2
Desde la simbología gráfica basta ubicar en el eje de las x el valor de x = − 4 , trasladarse verticalmente hasta la gráfica y ver qué valor le corresponde a la variable y. En la figura 4.1 se ve que para x = − 4 corresponde y= 2 . Estudiar las gráficas en matemáticas es aprender a interpretar otro modo de representación de las funciones que, se supone, en la representación algebraica ya se comprenden.

4.2 GRAFICACIÓN POR TABULACIÓN El método general para graficar cualquier función es el de tabulación. Consiste en dar valores arbitrarios a la variable x y con ellos calcular los correspondientes a la variable y, loscuales se van anotando en una tabla. Después se localiza en el plano cartesiano cada punto tabulado así y se unen para obtener la forma de la gráfica buscada. Por ejemplo, para graficar y = 2 x − 1 , dando valores a la x de - 2, - 1, 0, 1, 2 y 3 se construye la siguiente tabla: x y -2 -5 -1 -3 0 -1 1 1 2 3 3 5
figura 4.2

GRÁFICAS DE FUNCIONES

página 111

Y llevando esos puntos al planocartesiano se obtiene la recta de la figura 4.2. De igual forma, para graficar y = x 2 − 10 x + 24 , dando valores arbitrarios a la x, por ejemplo de x = 2 , se obtiene para la y:

y = 22 − 10 ( 2 ) + 24
y=8
Repitiendo el procedimiento para valores de x de 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 y concentrando los valores en una tabla:

x y

2 8

3 3

4 0

5 -1

6 0

7 3

8 8

figura 4.3Estos puntos localizados en el plano cartesiano dan la figura 4.3 y uniéndolos se llega a la parábola que se muestra en la figura 4.4. Realmente en este curso no se pretende retomar este procedimiento de graficación que suele resultar engorroso y hasta muy laborioso, sino hacer un estudio de las características principales de ciertas gráficas analizando su ecuación para esbozar2, a partir de esosrasgos, precisamente la gráfica de tal ecuación.

figura 4.4

2

ESBOZAR o BOSQUEJAR significa dibujar sin dar la última mano a la obra, es decir, hacer un dibujo sin marcar o definir detalles, es hacer un trazo no acabado apenas aproximado con sus características básicas. Al dibujo hecho así se le llama esbozo o bosquejo.

página 112

GRÁFICAS DE FUNCIONES

4.3 LA ECUACIÓN DE SEGUNDOGRADO DE LA FORMA y = ± a ± ( x + b )

2

La ecuación de segundo grado, también llamada ecuación cuadrática, se puede escribir de dos formas. Una de ellas es y = ± a ± ( x + b ) , en donde las literales a y b representan a cual2

quier número. A una ecuación de este tipo siempre le corresponde de gráfica una parábola. Si el binomio cuadrático está precedido de un signo positivo, la parábolaabre hacia arriba; si el binomio cuadrático está precedido de un signo negativo, la parábola abre hacia abajo. La parábola más sencilla de graficar es y = x 2 de la cual dependerán las demás, por lo que se le puede llamar la parábola elemental. Para graficar y = x 2 , tabulando para los valores de x de ± 3 , ± 2 , ± 1 y 0 se obtiene la siguiente tabla: x y -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9

en...