Funciones hiperbolicas

Johann Heinrich Lambert (1728-1777) fue un importante astrónomo, físico y matemático alemán, también fue el primero en publicar un tratado relacionado con de las funciones Hiperbólicas. Ladenominación de función hiperbólica, surge de la comparación del área de una superficie con forma semicircular, con el área de una superficie con límites dentro de una hipérbola. Estas son funcionescorrelativas las trigonométricas ordinarias.
Funciones hiperbólicas son unas funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a lasfunciones.  Estas son:



En las figuras tenemos los cuadrantes MNP de la circunferencia y de la hipérbola,
y para un punto cualquiera P de ambas curvas la abscisa es x = 0M, la ordenada es y = PMy el radio es a = 0Q.





Dado el ángulo hiperbólico P0M= Ω, las funciones hiperbólicas son:




Como Ω(ángulo hiperbólico), no es un ángulo ordinario, se debe proceder a su definición.Primero empezaremos designando por u el área del sector circular Q0P. El área del sector circular será AREA: ).
Cuando P0M= Ω , se verifica que arcoMP = r Ω(por propiedades de ángulos.),entonces:

Reemplazando en , , se tiene:



Donde A es el área del sector hiperbólico Q0P y a= 0Q. Donde x e y son las coordenadas deun punto P de la hipérbola equilátera, las demás funciones son las análogas de trigonometría circular.

Las funciones exponenciales e hiperbólicas están estrechamente relacionadas, son importantesen electricidad, cables de transmisión, entre muchas ramas de física y fisicoquímica.
El área A = Q0PQ en el caso de la hipérbola equilátera, está dada por


=>

Dónde: , entonces:(1)

Ahora la ecuación de la hipérbola es: => (2)

Sustituyendo (1) en (2) :

1.- Restando: + de

Tenemos: - =>

Dónde: =>

2.-...