Funciones hiperbólicas

LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Por Albert José DIAZ CHUNGA

1. Interpretación geométrica del argumento de las funciones hiperbólicas. 2. La definición de las funciones hiperbólicas. 3. Fórmulas de la suma y diferencia de argumentos. 4. Relaciones entre las funciones hiperbólicas y circulares.

CALCULO I

JUNIO, 2010

LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

ALBERT JOSE DIAZ CHUNGA

1. Interpretaciónhiperbólicas:

geométrica

del

argumento

de

las

funciones

Si en el uso de las funciones circulares el argumento más frecuentemente usado es el “ángulo central AOC = α” con origen en el centro de la circunferencia y medido desde el semieje positivo de abcisas en el sentido contrario a las agujas del reloj, para las funciones hiperbólicas no podemos usar este tipo de argumentoporque le faltaría la congruencia geométrica que sí posee en las funciones circulares. Sin embargo, se podría haber tomado como argumento de las funciones circulares un valor “x”, correspondiente al área del sector circular con ángulo central FOC=”2α”, puesto que de la circunferencia unidad se tiene que: Área

=x=

1 2 R 2α = α = ángulocent ralmitad 2

sen x = dis DC = sen α,

cos x = dis OD= cos α,

tg x = dis AB = tg α

Traduciendo esta idea a la siguiente figura que obtenemos desde la rama derecha de la hipérbola equilátera x2 – y2 = 1, se obtendría:

MATEMÁTICA.

SEPTIEMBRE, 2003

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2. La definición de las funciones hiperbólicas: 2.1. Definición: De lo anterior se tiene que las fórmulas deducidas para las distancias s, c, t son,precisamente, las definiciones formales de las funciones hiperbólicas. Seno hiperbólico:

shx = s =
Coseno hiperbólico:

e x − e −x 2 e x + e−x 2 e x − e− x e x + e −x

chx = c =
Tangente hiperbólica:

thx = t =

Se observa que, en el campo real, las funciones hiperbólicas son funciones dependientes de la función trascendente elemental ex . Esto no ocurre en las funciones circulares que sonfunciones trascendentes elementales, independientes de la función exponencial, en el campo real. Sin embargo, como se obtiene por las fórmulas de Euler, en el campo complejo no ocurre así, siendo todas las funciones, circulares e hiperbólicas, dependientes de la función exponencial compleja ez.

2.2. Fórmulas elementales: Para las funciones hiperbólicas se cumplen fórmulas análogas a las fórmulas delas funciones circulares:

1)

cthx =

1 ex + e −x = x thx e − e − x 1 2 = x chx e + e − x 1 2 = x shx e − e − x

2)

sec hx =

3)

cos echx =

2.3. Dominios y gráficas: Veamos los dominios y las gráficas de las funciones trigonométricas hiperbólicas:

MATEMÁTICA.

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Seno hiperbólico y su inverso, la cosecante hiperbólica:

e x− e− x y = shx = 2 sh( 0) = 0

Dom( shx ) = R ( IMPAR )

sh (− x ) = − shx

y = cos ehx =

2 e − e−x
x

Dom(cos ehx ) = R − {0}

Coseno hiperbólico y su inverso, la secante hiperbólica:

e x + e−x y = chx = 2 ch( 0) = 1

Dom(chx ) = R

ch (− x ) = chx ( PAR)

y = sec hx =

2 e + e−x
x

Dom(sec hx ) = R

MATEMÁTICA.

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LAS FUNCIONES HIPERBÓLICASTangente hiperbólica y su inverso, la cotangente hiperbólica:

ex − e−x y = thx = x e + e−x Dom(tghx) = R

y = ctghx =

e x + e− x ex − e− x

Dom(ctghx) = R − {0}

2.4. Otras relaciones: De la fórmula básica siguientes: 1) Dividiendo por 2) Dividiendo por

ch 2 x − sh 2 = 1 se obtienen, por ejemplo, las dos relaciones ctgh2 x − 1 = cos ech2 x 1 − th2 x = sec h2 x

sh 2 x : ch 2 x :Análogamente se obtienen de forma inmediata otras cualesquiera relaciones que permiten expresar una función mediante otra del mismo argumento.

MATEMÁTICA.

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3. Fórmulas de la suma y diferencia de argumentos: Si partimos de las expresiones del seno y coseno hiperbólico para dos argumentos distintos:

ex − e− x shx = 2 x e + e− x chx = 2...