Funciones hiprbolicas

FUNCIONES HIPERBOLICAS
Definiciones e Identidades
Las combinaciones
Cosh u = ½ ( e ^u + e ^-u) ( coseno hiperbólico de u)
Senh u = ½ ( e ^u - e ^-u) ( seno hiperbólico de u)
se presentan contanta frecuencia en las aplicaciones que ha creído conveniente darles un nombre especial. De momento puede que no este clara la ecuación de los nombres introducidos, que resultaran obvios mas adelante.Estas funciones se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que relacionan a las funciones cos u y sen u. Así como cos u y sen u pueden identificarse con el punto ( x, y) en elcirculo unitario x² + y² = 1, así también las funciones cosh u y senh u pueden identificarse con las coordenadas de un punto ( x, y) sobre la hipérbola unitaria x² - y² =1.
A propósito suelepronunciarse cosh u como “cosh u” y senh u como “ senh u”.
Para comprobar que el punto de coordenadas x = cosh u e y = senh u esta sobre la hipérbola unitaria, sustituimos las relaciones que las definen en laecuación de la hipérbola:
x² - y² =1
cosh² u - senh² u = 1
¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ -2u) - ¼ (e ^ 2u - 2 + e ^ -2u) = 1
¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ -2u - e ^ -2u + 2 - e ^ -2u) = 1
¼ ( 4) = 1
En realidad,si hacemos
x = cosh u = ½ ( e ^ u + e ^ -u).
y = senh u = ½ ( e ^ u - e ^ -u).
entonces, cuando u varia de - oo a + oo, el punto P ( x, y) describe la rama derecha de la hipérbola x² - y² = 1.
Elprimer elemento de la trigonometría hiperbólica que acabamos de establecer es la identidad básica
cosh² u - senh ² u = 1.
Esta expresión es análoga, pero no igual, a la identidad trigonometricaordinaria cos² u + sen² u = 1.
Las funciones hiperbólicas restantes se definen en términos de senh u y cosh u como sigue:
Tangente
[pic]
Cotangente
[pic]
Secante
[pic]
Cosecante
[pic]Dividiendo la identidad por cosh² u, resulta
1 - tanh² u = sech² u
Si dividimos por senh² u, obtenemos
coth² u - 1 = csch² u
Se deduce que
cosh u + senh u = e ^ u
cosh u - senh u = e ^ -u
Es, pues,...