Funciones holomorfas

Funciones holomorfas
´ 1.1 INTRODUCCION La definici´ n y primeras propiedades de la derivaci´ n de funciones complejas son o o muy similares a las correspondientes para las funciones reales (exceptuando, como siempre, las ligadas directamente a la relaci´ n de orden en R, como por ejemplo o el teorema del valor medio). Sin embargo, iremos comprobando poco a poco que la derivabilidad compleja esuna condici´ n mucho m´ s fuerte que la derivabilidad o a real, o incluso que la diferenciabilidad de las funciones de dos variables reales. La explicaci´ n final la encontraremos en resultados posteriores. o Para las primeras secciones de este cap´tulo puede usarse como libro de conı sulta el texto de Open University: Complex Numbers / Continuous Functions / Differentiation. The Open UniversityPress, Milton Keynes (1974); para las finales, ver Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968). 1.2 DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 1. Definici´ n y primeras propiedades. o Como C es un cuerpo y tiene sentido la divisi´ n, podemos imitar literalmente o la definici´ n de derivabilidad de funciones reales. o Definici´ n. Sea abierto de C. Sea f : o es derivable enz 0 si existe lim −→ C y sea z 0 ∈

. Diremos que f

z→z 0

f (z) − f (z 0 ) = f (z 0 ) ∈ C. z − z0

Al valor de dicho l´mite f (z 0 ) lo llamaremos derivada de f en z 0 . ı
Observaci´ n. Aunque, formalmente, la definici´ n es como en R, la existencia o o de l´mite es aqu´ m´ s exigente, al tener que existir de cualquier modo que nos ı ı a acerquemos a z 0 por el plano. Esto har´ que lasfunciones derivables en C sean a mejores que las derivables en R, y que podamos desarrollar una teor´a mucho m´ s ı a redonda para estas. ´ Para empezar, listamos las propiedades de derivabilidad que se demuestran imitando punto por punto lo que se hace en R. 17

18 1. f derivable en z 0 ⇒ f continua en z 0 . 2. Si f y g son derivables en z 0 ,

Funciones holomorfas

i) f + g es derivableen z 0 y ( f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ). ii) f · g es derivable en z 0 y ( f · g) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + g (z 0 ) f (z 0 ). iii) (Si f (z 0 ) = 0), 1/ f es derivable en z 0 y (1/ f ) (z 0 ) = − f (z 0 )/ f (z 0 )2 . 3. Regla de la cadena. Sean f : 1 −→ C, g : 2 −→ C con f ( 1 ) ⊆ 2 . Si f derivable en z 0 y g es derivable en f (z 0 ), entonces g ◦ f es derivable en z0, y (g ◦ f ) (z 0 )= g ( f (z 0 )) f (z 0 ). 4. Derivaci´ n de la funci´ n inversa en un punto. Sea f : −→ C inyectiva, o o a derivable en z 0 con f (z 0 ) = 0. Supongamos adem´ s que f ( ) es abierto y −1 −1 que f es continua en f (z 0 ). Entonces, f es derivable en f (z 0 ) y ( f −1 ) f (z 0 ) = 1 . f (z 0 )

Veamos, a modo de ejemplo, c´ mo este ultimo resultado se prueba igual que o ´ para funciones reales: Laderivabilidad de f en z 0 es equivalente a la continuidad en z 0 de la funci´ n o g : → C dada por g(z) = f (z) − f (z 0 ) z − z0 f (z 0 ) si z ∈ \ {z 0 };

si z = z 0 .

Esta funci´ n permite escribir para todo z ∈ o f (z) − f (z 0 ) = g(z)(z − z 0 ), a y como ahora g es continua en z 0 con g(z 0 ) = f (z 0 ) = 0, se verificar´ g(z) = 0 en un entorno de z 0 . Poniendo w0 = f (z 0 ), sitomamos w ∈ f ( ) y z = f −1 (w), w − w0 = g f −1 (w) f −1 (w) − f −1 (w0 ) ,

y, teniendo en cuenta que f −1 es continua en w0 , para w en un entorno reducido de w0 , f −1 (w) − f −1 (w0 ) 1 ; = w − w0 g f −1 (w)

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usando nuevamente la continuidad de f −1 en w0 y la de g en z 0 = f −1 (w0 ), vemos que existe 1 f −1 (w) − f −1 (w0 ) lim . = w→w0 w − w0 f (z 0 ) Ejemplosde funciones derivables. 1. Las funciones constantes son derivables en todo punto de C con derivada 0. La funci´ n identidad es derivable en todo C y su derivada es constantemente o 1. 2. Por operaciones algebraicas con funciones derivables, todo polinomio es derivable en C y su derivada tiene la misma expresi´ n que en R. Del mismo modo, o o toda funci´ n racional, puesta en forma irreducible,...