FUNCIONES IMPLICITAS

CAPÍTULO 10

FUNCIONES IMPLÍCITAS

10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 2 y 3)

En el curso de Precálculo del 4º semestre se vieron diferentes clasificaciones de las funciones, entre ellas las funciones explícitas y las funciones implícitas. Recordando: Una función
está escrita en forma explícita cuando su variable dependiente (por lo general, la y ) está despejada. Los siguientes ejemplosse refieren a funciones escritas en forma explícita:

y = 3 x 2 − 11x − 9
y = x 2 tan ( x 3 − 22 )

y = e6 x ( tan x − cos 2 x )
2

y=

ln x
x6 − 9 x

Si por el contrario, su variable dependiente (por lo general, la y ) no está despejada, se
dice que está escrita en forma implícita. Los siguientes ejemplos muestran casos de funciones
escritas en forma implícita:

141

Funcionesimplícitas

x3 − y 3 = xy − 8
tan ( x − 4 y ) = 3 x + y 4
5 x 2 − 7 xy + 9 x − y 2 + 22 y − 6 = 0
y = arc sen

x4 − y2

Una función escrita en forma implícita puede estar así por dos razones: una, porque la variable dependiente (por lo general, la y ) sea algebraicamente imposible despejarla, como cuando
aparece como parte de algún argumento al mismo tiempo que no parte de algúnargumento. Por

(

ejemplo, en 4 y = sen 2 x − y 2

) la variable dependiente y aparece como parte del argumento

del seno y además como no argumento en 4y. La otra razón es simplemente porque así convino
escribirla, como en x 2 + 3 y + 5 = 0 (se podría despejar la y )

Para obtener la derivada

dy
de una función implícita se emplean las mismas fórmulas
dx

y las mismas reglas dederivación estudiadas hasta ahora, en donde debe tenerse solamente el
cuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como una variable. Dicho de otra forma, la variable dependiente y ocupará el lugar de la u en las fórmulas.
Por ejemplo, para derivar y 3 debe utilizarse la fórmula (6) de la potencia vista en la página 69, en donde u = y y n = 3, de la siguiente forma:

d 3
y = 3 y
dx3 −1

d
y
dx

n-1

n

du
dx

u

142

Funciones implícitas

Por lo tanto
d 3
dy
y = 3y2
dx
dx

Para derivar, por ejemplo, x 6 y 3 debe emplearse la fórmula (7) del producto uv vista en
la página 77, en donde u = x6 y v = y3, de la siguiente forma:

d 6 3
d 3
d 6
x y = x6
y + y3
x
dx
dx
dx

u

dv
+
dx

v

du
dx

Para derivar y 3 debe seguirse elprocedimiento visto en la página anterior. Por lo tanto,

d ⎤
⎡
y ⎥ + y 3 ⎡6 x5 ⎤
= x 6 ⎢3 y 2
⎣
⎦
dx ⎦
⎣
d 6 3
dy
x y = 3x6 y 2
+ 6 x5 y 3
dx
dx

En general, para obtener la derivada

dy
de cualquier función implícita deben derivarse
dx

ambos miembros de la igualdad aplicando las fórmulas ya estudiadas y luego despejar

143

dy
, lo
dx

Funciones implícitas

cualpuede detallarse en la siguiente regla:

Para derivar funciones implícitas:
1) Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las mismas
fórmulas antes vistas.
2) Despejar

dy
, para lo cual:
dx

a) Escribir en el lado izquierdo de la igualdad todos los términos
que contengan a la derivada y del lado derecho todos los términos que no la contengan.
b) Factorizar en el lado izquierdoc) Despejar

dy
.
dx

dy
, dividiendo en el lado derecho el factor que le
dx

multiplica.

Ejemplo 1: Obtener

Solución:

dy
dx

si 5 xy 7 − y 3 = 9 x + 4 y

Paso 1: Aplicando el operador derivada en ambos miembros de la igualdad

d
d
( 5xy 7 − y 3 ) = dx ( 9 x + 4 y )
dx

144

Funciones implícitas

d
d 3
d
d
5 xy 7 −
y =
9x +
4y
dx
dx
dx
dx

d
d
dd
( 5xy 7 ) − dx y3 = dx 9 x + dx 4 y
dx

son de la forma:

5x

un

uv

c

d 7
d
y + y7
5x − 3 y
dx
dx

3 −1

du
dx

d
dy
y = 9+4
dx
dx

n-1

u

dv
dx

+

v

du
dx

n u

du
dx

dy ⎤
dy
⎡
7
2 dy
5 x ⎢7 y 6
⎥ + y [5] − 3 y dx = 9 + 4 dx
dx ⎦
⎣
35 xy 6

dy
dy
dy
+ 5 y7 − 3 y2
=9+4
dx
dx
dx

Paso 2a: Escribiendo en el lado...