Funciones implícitas y su derivada

Funciones implícitas y su derivada
Al considerar la función con ecuación , es posible determinar con los teoremas enunciados anteriormente, ya que es una función dada implícitamente en términos de la variable independiente .
Sin embargo, existen funciones que no están definidas en forma explícita, ejemplos de las cuales son las siguientes:

Estas ecuaciones no pueden ser resueltasexplícitamente para "y" en términos de "x". Se dice que la función está definida implícitamente por las ecuaciones:

respectivamente.
Note que ambas expresiones son de la forma general .
Interesa ahora determinar la derivada de una función dada en forma implícita.
Consideremos cada una de las ecuaciones anteriores:

a. | Observe que involucra un producto de funciones y que para derivar sedebe utilizar la regla de la cadena. Se tiene entonces derivando: Despejando se tiene que: Sustituyendo "y" por se obtiene:   |
b. | derivando de donde y sustituyendo se tiene: |
El proceso realizado en estos dos ejemplos recibe el nombre de derivación implícita, y puede ser utilizado únicamente bajo el supuesto de que la ecuación dada especifica una función. En caso de que no sea así, aunque serealicen las operaciones, el resultado carece de sentido.
Por ejemplo, la ecuación no puede ser satisfecha por ningún valor real de "x" y "y". Al realizar el procedimiento anterior se obtiene que de donde , fórmula que parece tener significado para "x" y "y" siempre que , aunque de hecho no puede existir derivada ya que la ecuación dada no especifica ninguna función .
La derivación implícitadetermina una fórmula para , que es válida para toda función derivable tal que esté definida implícitamente por una ecuación dada.
Ejemplos:
1. Suponiendo que existe una función derivable tal que está definida implícitamente por la ecuación , calcular
Solución:
Derivando implícitamente se obtiene:

Note que hemos trabajado como si .
2. En cada caso determinar una ecuación parala recta tangente y una ecuación para la recta normal a la gráfica de la ecuación dada en el punto . Graficar la curva, la recta tangente y la recta normal.

a. | |
b. | |
 
Solución:
a.
Primero obtenemos que nos da la pendiente de la recta tangente: de donde
Evaluando se tiene que
Luego . Sustituyendo se obtiene que por lo que la ecuación de la recta tangente es
Lapendiente de la recta normal es de donde la ecuación de esta recta es: ; sustituyendo nuevamente en se obtiene que
La ecuación de la recta normal es:
La ecuación puede escribirse como que representa la ecuación de una circunferencia con centro en y radio .
La representación gráfica de la curva y las rectas es la siguiente:
|
b.
Dada la ecuación obtenemos . como entonces
Evaluando en setiene que
Luego, la pendiente de la recta tangente es y la ecuación es . Sustituyendo en esta ecuación se obtiene que por lo que finalmente la ecuación de la recta tangente es .
La pendiente de la recta normal es y la respectiva ecuación es: . Sustituyendo se obtiene que por lo que la ecuación de la recta normal es .
La representación gráfica de la curva, las recta tangente y de la rectanormal es la siguiente:
|
Ejercicios para el estudiante:
1. Probar que las rectas tangentes en el origen a las curvas con ecuaciones son perpendiculares entre sí.
2. En cada caso:

a.
Determinar en términos de "x" y "y" utilizando la derivación implícita.
b.
Despejar "y" en términos de "x" y demostrar que cada solución y su derivada satisfacen la ecuación obtenida en a.
 i | |
ii | , a cte |
iii | |
3. Determinar la ecuación de la recta normal a la curva con ecuación en el punto

Thomas Hobbes
Thomas Hobbes (5 de abril de 1588 – 4 de diciembre de 1679), fue un filósofo inglés, cuya obra Leviatán (1651) estableció la fundación de la mayor parte de la filosofía política occidental. Es el teórico por excelencia del absolutismo político.
Situación...