Funciones Inversas Modelos Matmáticos Construccion De Funciones

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7.5 FUNCIONES INVERSAS.

Para hacer claridad sobre el concepto de función inversa, que se presenta en esta sección, se toma nuevamente la función f, de la fig. 14. (b) que está definida por la ecuación:
y = f(x) = x3 – 1 (1)
y cuyo dominio y rango es el conjunto de los números reales. Al despejar x en la ecuación (1) se obtiene:
(2)
Por la forma que presenta esta ecuación, se sabeque dado cualquier valor de y, tomado del rango de f (esto es, de ), existe uno y solo un valor de x situado en el dominio de f. En consecuencia, la ecuación (2) nos define otra función cuyo dominio es el rango de f y cuyo rango es el domino de f.
Asi por ejemplo, la ecuación (1) asigna al valor x = 2, un único valor de y, en este caso, y = 23 – 1 = 7.
La segunda ecuación, efectúa la operacióninversa, esto es al valor y = 7, le asigna el valor de .
Si se quiere ahora representar, como es usual, con x a la variable independiente y con y a la dependiente, se intercambia x con y en la ecuación (2) y asi se obtiene: (3).
La función definida por (2) o (3) y que se representa en forma general por f -1 se conoce como la INVERSA DE LA FUNCIÓN f definida por (1). Igualmente, la función definidapor (1) es la INVERSA DE LA FUNCIÓN f -1 definida por (2).
Es decir,

Las gráficas de f(x) y de f –1(x) representadas en el mismo plano cartesiano aparecen el la fig. 15.

fig. 15.
Considere ahora la función y = f(x) = x2 + 1 cuya gráfica se muestra en la fig. 14 (a).
El dominio de f lo constituye el conjunto de los números reales y el rango es el intervalo .
Al despejar x, seobtiene: .Esta última ecuación, dice que para cada valor que se le asigne a la variable y, le corresponden dos valores a la variable x, y en consecuencia, esta última ecuación no define una función.
En este caso se dice que la función y = f(x) = x2 + 1 no tiene inversa o que f –1 no existe.
De los dos ejemplos anteriores, se deduce fácilmente que una función f tiene inversa si f es 1-1.Definición.
Sea una función 1-1.
           
La inversa de f, denotada f –1, es la función:

       
tal que: f –1 ( f (x) ) = x para cada xA (Dominio de f)
f ( f -1 (x) ) = x para cada xB (Dominio de f -1)
Nótese que D(f) = r(f -1) r(f) = D(f -1)
Se debe tener cuidado con el (-1) usado en f -1. El (-1) no es un exponente, es simplemente un símbolo para denotar la inversa.
Como ejemplo ilustrativo,considere nuevamente la función definida por la ecuación: y = f(x) = x3 – 1. se tiene:

f y f –1 son inversas una de la otra. Además,
, x i D(f) =
, x i D(f -1) =
Como se mencionó antes, la función f: [1, + )
x f(x) = x2 + 1
no tiene inversa (pues f no es 1 – 1).
Sin embargo, dicha función genera dos funciones:


y

que son 1 – 1 en sus respectivos dominios (fig. 16.) y enconsecuencia tienen inversa.

fig. 16.
Para la función f se tiene:
  
       
Las gráficas de f y f -1 en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la fig. 17.

fig. 17.
Igualmente, para la función g se tiene:

     
Las gráficas de g y g -1 en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la fig. 18.

fig. 18.
Además,


(Propiedad V.A.6)

(Definición de )
Es decir,
para cada .Igualmente,

Es decir, para cada .
Se deja para el lector el hacer las mismas consideraciones para la función g y su inversa g -1.
Observación.
Nótese en las figuras 17 y 18 que las gráficas de f y f -1 (g y g -1) son simétricas con respecto a la recta y = x.
7.6. MODELOS MATEMÁTICOS: CONSTRUCCIÓN DE FUNCIONES.

1. A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4mts. de radio y 16 mts. de altura entra agua a una razón determinada.
Expresar el volumen de agua en un instante dado:
a. En función de la altura h.
b. En función del radio de la base x.
 
Solución.
En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en el instante determinado.

El volumen del agua en el instante determinado viene dado por:

Como los...