Funciones inversas y operaciones con funciones

UNIDAD III OPERACIONES CON FUNCIONES

Álgebra de las funciones
Operaciones con funciones Función Suma
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada por ( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 1 y h (x) = |x| entonces: ( h + f )(x) = h (x) + f (x) = |x| + 2x + 1 ( h + f )(2) = h (2) + f (2) = |2| + 2 ( 2 ) + 1= 7

Función Diferencia
Si f(x) y g(x)son dos funciones, entonces la función diferencia esta dada por ( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)

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ING. PABLO DAVILA SILVA UNIDAD III OPERACIONES CON FUNCIONES Ejemplo 2: Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x2 entonces: ( f - g )( x ) = f (x) - g (x) = 2x + 1 - x2 = 1 + 2x - x2 ( f - g )(- 1) = f (- 1) - g (- 1) = 2 ( -1) + 1 - ( -1)2 = -2 + 1 - 1 = -2

Función Producto
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto esta dada por ( f * g ) ( x ) = f (x) * g (x)

Ejemplo 3 Si g (x) = x2 y

h (x) = x – 2 entonces:

( h • g )(x) = h (x) • g (x) = ( x - 2 ) x2 = x3 – 2x2 ( h • g )(5) = h (5) • g (5) = ( 5 - 2 ) ( 5 )2 = 3 (25) = 75

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Función Cociente
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente esta dada por

Ejemplo 4 Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x 2 entonces:

1.

3

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Composición de Funciones Compuestas )

( Funciones

Sean f(x) y g(x) dos funciones con susrespectivos dominios Df y Dg , entonces la función f(x) compuesta con g(x) es dada por:

Ejemplo

Sea

, entonces:

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ACTIVIDAD-PRÁCTICA
Sea , halla las

funciones indicadas e identifica el Dominio de cada una de ellas.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

( f + g ) (x)(g–f)(x) (g-f)(2) (j·f )(x) ( j·f )( -1 ) (g/f)(x) (f(j(x)) (j(f(x)) h(j(x))

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La composición de funciones: Función compuesta
Dadas las funciones f: A → B y g: B → C, (o sea, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g), se define una función composición (g ο f ): A → C talque (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

La función identidad
Dado un conjunto , la función que asigna a cada x de función identidad. También se

el mismo x de A, se denomina simboliza por 1A o idA.

En otras palabras la función Identidad es igual a la variable independiente de la función en cuestión, ejemplos: f(x)=x , h(t)=t , g(s)=s Dada cualquier función igual a f yque , se cumple que es también igual a es , puesto que

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ING. PABLO DAVILA SILVA UNIDAD III OPERACIONES CON FUNCIONES tenemos que para todo y también

Se verifica que
  

la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva. la composición de dos funciones suprayectivas es suprayectiva. la composición de dos funciones biyectivas esbiyectiva.

Función inversa
Dada una función una función , se llama una (función) inversa de , a

tal que se cumple las siguientes condiciones: .

Decimos también que la función f es invertible Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por .

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ING. PABLODAVILA SILVA UNIDAD III OPERACIONES CON FUNCIONES Se verifica también las siguientes propiedades.
 

Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva. La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que (f − 1) − 1 = f.



La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los...