Funciones inversas

FUNCIÓN INVERSA DE OTRA
DÍA 29 * 1º BAD CS

FUNCIÓN INVERSA DE OTRA
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Sea

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Llamamos función INVERSA a la expresión

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Condición:

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Si

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Relaciones entre una función y su inversa:

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(f-1 o f )(x) = f -1 [ f (x)] = x
(f o f -1 )(x) = f [ f -1 (x) = x

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Es decir, que (f -1 o f )(x) = (f o f -1 )(x) = x

y = f(x) una función real de variable real.
y = f -1 (x)

f(a) = b  f -1(b) = a

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto a la bisectriz
del primer cuadrante, o sea respecto a la recta y = x

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Para hallar la función inversa, si la tiene, se despejala variable x en la
ecuación y= f(x) y después se intercambian las x por las y.

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Ejemplo 1

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Sea f(x) = x2 - 1

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y = x2 – 1  x = y2 – 1  y2 = x + 1  y = +/- √(x+1)
La función resultante Noes función, por lo tanto la función dada no tiene
inversa.

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Ejemplo 2

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Sea f(x) = 1 / (x – 2)

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y = 1 / (x – 2)  x = 1 / (y – 2)  x.y – 2.x = 1  y = (1 + 2.x) / x

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Luego

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•Comprobemos:

f -1 (x) = (1 + 2.x) / x

es la inversa de la función dada.

(f o f -1)(x) = 1 / ([(1 + 2.x) / x] – 2) = x
(f -1 o f)(x) = (1 + 2.[ 1 / (x – 2)]) / [1 / (x – 2)] = x

•

Ejemplo 3

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Sea f(x) =sen x - 1

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y = sen x – 1  x = sen y – 1  sen y = x + 1  y = arc sen (x + 1)

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Luego

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Comprobemos:

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Ejemplo 4

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Sea f(x) = √ (x – 1)

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y = √ (x – 1) 

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Luego

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Comprobemos:f -1 (x) = arc sen (x + 1 )
(f o f -1)(x) = sen [arc sen (x+1)] – 1 = (x + 1) – 1 = x
(f -1 o f)(x) = arc sen (sen x – 1 + 1) = arc sen (sen x) = x

x = √ (y – 1)

 x 2 = y – 1  y = x2 + 1

f -1(x) = x2 + 1
(f o f -1)(x) = √ (x2 + 1 – 1) = √ x2 = x
(f -1 o f)(x) = [√ (x – 1)] 2 + 1 = x – 1 + 1 = x

Ejemplos gráficos 5 y 6
y = - 2.x

y=-x/2

y = 2.x + 1

y = (1/2).x - 2

En color rojo f(x) yen color azul f-1(x), o viceversa.

Ejemplos gráficos 7 y 4
y = x2 +1
y = ex

y = ln x

y = √ (x-1)

En color rojo f(x) y en color azul f-1(x), o viceversa.

Ejercicios
• Ejemplo 8
• Hallar la...