Funciones lineales matematica 2014 uba xxi

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Matemática

FUNCIONES LINEALES
Una función de la forma:
f:  / f(x) = ax + b
donde a y b son números reales, es una función lineal.
Son ejemplos de funciones lineales:

f :   / f(x) 4x
g :    / g( x ) -

1
3

x 1

h :    / h( x) 3


La gráfica de una función lineal es una recta de ecuación y = ax + b.
Para las funciones f, g y h lasrespectivas gráficas son:

Para representar una función lineal es suficiente conocer dos puntos que pertenezcan a
su gráfica.
Ejemplo 1:
Para representar la función
f:   /f(x) = - 2x+3
elegimos dos elementos del dominio y buscamos su imagen.


x = 0 es f(0) = -2.0 + 3 = 3
3
3 
3
x  es f  2. 3 0
2
2
2




Como es




f(0) = 3, el punto (0; 3) pertenece al gráficode la
función.

3 
3 
f  0 , el punto  ; 0 pertenece al gráfico de la
2

2 
función.

Los dos puntos determinan la recta de ecuación y = - 2x + 3
que es la gráfica de la función f.

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Ejemplo 2:
En forma análoga, Para representar la función
f:   /f(x) = 2x+3
elegimos doselementos del dominio y buscamos su imagen.


x = 0 es f(0) = 2.0 + 3 = 3
3
3
 3 
x  es f  2. 3 0
2
2
 2 



Como es




f(0) = 3, el punto (0; 3) pertenece al gráfico de la
función.

 3
 3 
f  0 , el punto  ; 0 pertenece al gráfico
 2
 2 
de la función.

Los dos puntos determinan la recta de ecuación y = - 2x + 3
que es la gráfica dela función f.

Si observamos las dos gráficas dibujadas
vemos que:


Las dos cortan al eje y en el punto de
coordenadas (0; 3). A este punto se lo
llama ordenada al origen.

•

Las dos cortan al eje x.
Ambas funciones presentan un cero.

•

3
La primera x 
2

•

3
La segunda en x 
2

Se llama ordenada al origen al
valor que toma la función
cuando x = 0  f(0) = b•

f(x) = 0 significa que ax + b = 0
b
de donde x  .
a

•

•

La primera
decreciente.

función

es

siempre

•

La segunda
creciente.

función

es

siempre

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

b
x  es el cero de la función
a
lineal.

Las funciones lineales de la forma
f(x) = ax + b (a0) son siempre
crecientes o decrecientes.

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Otras
expresiones de
la función lineal

Las funciones que analizamos son de la forma f(x) = ax + b (a0). Veremos ahora
otras expresiones de la función lineal.
Funciones lineales de la forma f(x) = b
•

Surge de hacer a = 0 en la expresión f(x) = ax + b
Por ejemplo: f(x) = 4
La gráfica de esta función es una recta
paralela al eje de abscisas.
Todoslos puntos de la recta tienen la forma
(x; 3).
Estas
rectas
constantes.

representan

funciones

Funciones lineales de la forma f(x) = ax; (a0).
Sus gráficas son rectas que pasan por el origen de coordenadas.
El punto (0; 0) pertenece a cualquiera de ellas.
Si en f(x) = ax; hacemos a = 2, resulta
f(x) = 2x

Si en f(x) = ax; hacemos a = 1, resulta
f(x) = x
Esta función recibe elnombre de función
identidad.

Si en f(x) = ax; hacemos a = - 2, resulta
f(x) = -2 x

Observamos que al variar el valor de la constante a varía la inclinación de las rectas.
Denominamos pendiente a la constante a.
•

Si a > 0 la función es creciente.

•

Si a < 0 la función es decreciente.

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Lapendiente a nos indica el aumento que experimenta y cuando x aumenta una
unidad.
Consideremos nuevamente la función f(x) = 2x.
Los puntos (1; 2) y (2; 4) pertenecen a la gráfica de f
Cuando x aumenta 1 unidad; y aumenta 2 unidades.

Lo mismo ocurre en las funciones de la forma
f(x) = ax + b (b0)
Consideremos la función f(x) = 3x + 1 y su
gráfica.
Los puntos (0; 1) y (1; 4) pertenecen...