Funciones Lineales Y Cuadraticas

FUNCIONES LINEALES

Como su nombre lo dice, es una función cuya gráfica es siempre una línea recta.

Sea f : D     una función, f es una función lineal si existe m yb   tal quef(x) = mx + bA la constante m se le llama pendiente y a b intersección. |

Nota: Vale la pena resaltar que y = mx + b es la ecuación de una línea recta y f(x) = mx + b una función lineal.
Para efectos deposteriores, afirmaremos que una función lineal siempre es de la forma:
f(x) = mx + b, donde se pueden presentar ciertas modificaciones, como por ejemplo que m o b sean cero.
 
Pendiente (m):
Se le llama pendiente , la cual es igual a la tangente del ángulo que se forma entre la recta y el eje de las x. (A pesar de que se sabe nada de trigonometría básica es bueno saber lo siguiente)

Se tieneque tan  = m, note que m > 0, ya que la tangente es positiva en el primer cuadrante, además como se puede ver, la recta l es creciente.

Análogamente se tiene que tan  ' = m, pero
m < 0, ya que la tangente es negativa en el segundo cuadrante, además como se puede ver, la recta l es decreciente.
 

Con lo anterior queríamos llegar a que la pendiente es un número real que indica la monotoníade la función lineal, dependiendo de si es positiva o negativa, es decir:
Si m > 0 entonces f es creciente.
Si m = 0 entonces f es constante.
Si m < 0 entonces f es decreciente.
 

Intercepto (b):
Es el punto donde la función corta al eje y, que siempre esta dado por (0, b).

¿Cómo averiguar el valor de m y b?:

Como bien lo dijo Euclides, “ por dos puntos solo pasa una únicarecta” , entonces démonos los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ). Con lo que tenemos que:
 b = y1 - mx1ób = y2 - mx2 |

Note que la pendiente requiere de dos puntos y que el intercepto solo uno, además de la pendiente. Por lo que se puede afirmar que: para calcular la ecuación de una recta se requiere dos puntos o la pendiente y un punto.
 
Ejemplo: Considere una función lineal tal que f(7) = 9y f(13) = 33. Determine f(60) y en general f(x) para cualquier x  .
Solución:
Se sabe que, como f(7) = 9 y f(13) = 33, entonces tenemos los puntos (7, 9) y (13, 33) , así que por medio de las fórmulas anteriores calculemos la pendiente y el intercepto.
Primero la pendiente:
 
Ahora el intercepto, para este hay dos posibilidades, dependiendo del punto que se elija. En esta ocasión se tomaránlos dos puntos para mostrar que ambas expresiones son equivalentes, pero siempre es mejor tomar el punto con números entre 1 y 10, en este caso (7, 9).
1) b = y1 - mx1 = 9 - (4 • 7) = 9 - 28 = -19
2) b = y2 - mx2 = 33 - (4 • 13) = 33 - 52 = -19

Por lo tanto tenemos que f(x) = 4x - 19. Ahora calculemos f(60).

f(60) = 4•(60) - 19 = 240 - 19 = 221.
 
R/ f(60) = 221 y f(x) = 4x - 19.
 Nota: No todas las ecuaciones de rectas se presentan de la forma y = mx +b, sino de otra forma, así que lo que hay que hacer es despejar la variable dependiente y. Uno de esas representaciones es laecuación general de la recta.

Si a, b y c son números reales, tales que a y b no son cero a la vez, entonces la ecuación ax + by = c representa la gráfica de una recta y se le llama ecuación general dela recta. |

Ejemplo: Determine si la ecuación 4x - 6y = 2 representa la ecuación de una recta.

Solución:
Nota que 4x - 6y = 2 es un ejemplo de la ecuación general de la recta, donde a = 4, b = -6 y 
c = 2. Así que por el recuadro anterior concluimos que 4x - 6y = 2 representa la ecuación de una recta.

Con lo anterior se daría por resuelto el problema, pero que pasaría si el problemadijera que además expresemos la ecuación de la forma y = mx + b, entonces habría que despejar y en términos de x. Así:
 
4x - 6y = 2
- 6y = 2 - 4x
6y = -2 + 4x
6y = 4x - 2
y = 4x - 2
6
y = 4x - 2
66

y = 2x - 1
33

R/ 4x - 6y = 2 se puede representar como: y = 2x - 1.
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