Funciones lineales

TEMA II. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. GUIÓN 1.- Sistemas de ecuaciones lineales. 1.1.- Ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Solución. 1.2.- Expresión matricial de un sistema de ecuaciones. 1.3.- Sistemas homogéneos y sistemas completos. 1.4.- Sistemas equivalentes. 1.5.- Sistemas escalonados y escalonados reducidos. 2.- Resolución de sistemas. 2.1.- Análisis de la compatibilidad.2.2.- Método de Gauss. 2.2.- Método de Gauss-Jordán. ____________________________________________________________

_______________ TEMA I 1.- Sistemas de Ecuaciones Lineales. Definiciones. 1.1.- Definición: Se llama ecuación lineal con n incógnitas, x1, x2, ... ,xn a una expresión de la forma a1 x1 + a2 x2 +. . . + an xn = b en la que a1, a2, . . . , an y b son escalares. Los n primeros escalaresse llaman coeficientes de la ecuación y b término independiente. Una solución de una ecuación lineal de n variables es una colección de n escalares que la satisfacen. El conjunto de todas las soluciones que la satisfacen se llama conjunto solución de la ecuación que suele describirse mediante una representación paramétrica. Ejemplos: i) - El conjunto solución de una ecuación lineal con dosvariables son los puntos de una recta del plano. En el caso de las ecuaciones lineales con tres variables representa un plano en el espacio. ii) - La representación paramétrica del plano solución de la ecuación x+y –z = 1 será
⎧x = 1 − λ + μ ⎪ ⎨y = λ ⎪z = μ ⎩

λ, μ ∈ R

iii) - En el siguiente conjunto de ecuaciones distinguir las lineales de las que no lo son: a) 2 x + 7 y –z = 0 b) 2x – 3 y = e2 c)x y – z = 0 x d) Sen 2x + 3y = -z e) e + y = 1 f) x2 + y2+x z =1

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1.2.- Definición: Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de m ecuaciones lineales con n incógnitas que se expresa como sigue: a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 ........................................... a m1x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b mxj son las incógnitas, aij son los coeficientes y bi son los términos independientes con i ∈{1, 2, ... ,m} y j∈{1, 2, ... ,n}. 1.3.- Definición: Se dice que n escalares α1,α2,...αn constituyen una solución del sistema si al sustituirlos por x1, x2, ... ,xn convierten las ecuaciones en igualdades. Resolver un sistema es encontrar todas las soluciones que tiene. Un sistema se dice compatible sitiene alguna solución e incompatible si carece de ellas. Se dice compatible determinado cuando la solución es única y se dice indeterminado cuando tiene más de una. 1.4.- Expresión matricial de un sistema. Usando notación matricial la primera expresión a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 ........................................... a m1x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m

se transforma en AX = b. A es la matriz de coeficientes del sistema, X es la matriz columna que contiene las incógnitas y b es la matriz columna que contiene los términos independientes.

⎛ a 11 a 12 ⎜ ⎜a a A = ⎜ 21 22 ⎜ ⎜ ⎝ a m1 a m2

a 1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ ⎟ ⎟ a mn ⎟ ⎠

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ X =⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠

⎛ b1 ⎜ ⎜b b=⎜ 2 ⎜ ⎜b ⎝ m

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

La siguientematriz se llama matriz ampliada del sistema.

a 1n b1 ⎛ a 11 a 12 ⎜ a 2n b2 ⎜a a (A, b) = A = ⎜ 21 22 .......... .......... .......... .... ⎜ ⎜a a mn b m ⎝ m1 a m2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

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⎧x + y − z + t = 1 ⎪− x − 2y + 2z + t = 0 ⎪ Ejemplo: Dado el sistema ⎨ , su matriz de coeficientes es ⎪2x + y − 3z = 0 ⎪ y − 2z + t = 0 ⎩ 1 −1 1⎞ ⎛ 1 1 −1 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ −1 − 2 2 1 0⎟ ⎜ −1 − 2 2 1⎟ y sumatriz ampliada es (A, b) = ⎜ A= ⎜ 2 1 −3 0 0⎟ 2 1 − 3 0⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 1 −2 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 − 2 1⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
1.5.- Sistemas Homogéneos. Se llaman homogéneos los sistemas del tipo AX = 0. Todo sistema homogéneo tiene, al menos, la solución x1 = x2 = ... = xn = 0 llamada solución trivial o nula. Cuando un sistema homogéneo tiene alguna solución no trivial entonces tiene infinitas soluciones, es decir, es...