Funciones lineales

LA FUNCION LINEAL
F:RR es una función lineal si es de la forma
F(x)= a.x + b
Donde “a” es la pendiente de la recta y “b” la ordenada al origen (corte con el
eje de ordenadas).
La representación gráfica de la función lineal es una recta. La ecuación dada
anteriormente representa la forma explícita de la recta.
La pendiente:



Tiene relación con la inclinación de la recta conrespecto al eje x+.
Si conocemos dos puntos de la recta (x1, y1) (x2,y2), es posible calcular
la pendiente como:




a=

=

con x2 x1

o bien , se puede obtener como tg  = a (donde  es el ángulo de
inclinación con respecto a x+).

Si la pendiente es positiva, tendremos una recta creciente.
Si la pendiente es negativa, tendremos una recta decreciente.
Si la pendiente es nula,tendremos una recta de la forma

f(x)= b

(función constante), es paralela al eje x.

Observación: x = a es una recta paralela al eje y, pero no es función (por
qué?....).
Las intersecciones de la recta con los ejes coordenados:
Ya vimos que el corte de la recta con el eje “y” se denomina ordenada al origen
y se obtiene planteando:
f(0)=a.0 + b = b
La intersección de la recta con el eje x sedenomina raíz y se obtiene
planteando f(x)= 0  a.x + b= 0  x = -b/a

b
-b/a

Si la ordenada al origen es nula, la recta pasa por el origen y es de la forma
y =ax. En este caso coinciden ordenada al origen y raíz.

Ejemplos
1) Utilizar el concepto de ordenada al origen y pendiente para graficar:
a) y =-3/4.x
c) y = -1/2.x + 1

b) y = 3/2.x -1
d) x – 2y = -4

Solución
a)Primero hay que marcar la ordenada al origen,
cero en este caso, y a partir de éste punto hay que
“bajar” 3 unidades sobre el eje y (por ser negativa la
variación de y), luego desplazarse 4 unidades hacia
la derecha en forma paralela al eje de abscisas para
marcar la variación de x. Finalmente uniendo este
último punto con la ordenada al origen se tiene la
traza de la recta.
b)

c)

d)La ecuación general de la recta.
A.x + B.y + C = 0

donde A, B, C son números reales.

Ojo!.. A no representa la pendiente de la recta.
Para obtener la forma explícita debemos “despejar” y:
Y=

.x -

Ejemplos
2) Encontrar la función lineal que verifica:
a) su pendiente es ½ y pasa por (1/3,-1)
b) pasa por los puntos (1,-2) y (-3,1)
c) corta al eje x en “2” y al eje y en -1
d) pasapor el punto (3,2) y por (3,-1/2)
Solución
a) Si la pendiente es ½ se puede comenzar por plantear: y = 1/2 .x + b
Para calcular la ordenada al origen bastará con reemplazar el la ecuación de la
recta el punto que pertenece a la misma: -1= 1/2. 1/3 + b
Al despejar b, se obtiene: b= -7/6

Finalmente, la ecuación de la recta es: y= 1/2. x – 7/6
b) Si se conocen dos puntos de una recta (eneste caso (1,-2) y (-3,1)) ,se puede
determinar la pendiente utilizando
m

m=

y2  y1
x2  x1

1  2
3

 3 1  4

Se tiene entonces que y= -3/4. x +b
Para el cálculo de b se procede como en el inciso anterior, reemplazando
cualquiera de los dos puntos dados en la ecuación de la recta.
Finalmente: y = -3/4.x – 5/4
c)
d) no existe una función lineal que cumpla con lascondiciones pedidas.

Distancia de un punto P(x0, y0) a una recta L
Se puede calcular a partir de
D(P,L) =

√

Ejemplo
Sea y = 2x + 1, hallar la distancia de P(1,1) a la recta.
Solución
Es necesario expresar la ecuación de la recta en forma implícita: -2x+y-1=0
Luego,
D (P, L) =

√

= 2√5/5

Las rectas paralelas
 Cómo se pueden identificar?
Tienen sus pendientes iguales.

L2
𝐿Las rectas perpendiculares.
Son aquellas que se cortan formando un ángulo de 90|°.


Cómo se pueden identificar?

Sus pendientes son inversas y opuestas, o lo que es lo mismo:
a1. a2 = -1
donde a1 y a2 son las pendientes de dos rectas
perpendiculares.

L1
L2

Ejemplos
1) L1: y =-3.x L2: y -6.x + 2 = 0
L3: y = 1/3.x + 7
Observar que: L1
L2
y L2 // L4 (justificarlo)

L4:y...