Funciones lineales

Funciones lineal
El estudio de la función lineal se inicia con el análisis de los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:
Una agencia de renta de automóviles cobra $ 3.50 por cada kilómetro recorrido, más $200.00 por la
renta del automóvil. Encuentra:
a) Un modelo algebraico que represente el cobro por x kilómetros recorridos.
b) Lo que pagaron las personas que recorrieron, 40, 50, 120, 130 y 200km.
c) Una gráfica que represente el costo de la renta del automóvil con respecto a los kilómetros
recorridos.
Solución:
a) Si x representa la cantidad de kilómetros que recorre el automóvil, y la letra y simboliza la
cantidad a pagar, entonces el modelo matemático es:

b) Al sustituir los valores de: 40, 50, 120, 130 y 200 en el modelo anterior se obtiene la tabla
x
40
50
120 130 200
y340 375 620 655 900
Resultados de la cantidad a pagar
Se observa que de 40 a 50 km, existe un incremento de 10 km y la cantidad a pagar aumenta en
$35.00; de 120 a 130 km también existe un incremento de 10 km y hay un crecimiento de $35.00 en
la cantidad a pagar.
De la misma forma, se observa que de 40 km a 120 km hay un incremento de 80 km y en la cantidad
a pagar hay un aumento de $280;de 120 km a 200 km también existe un incremento de $280 en la
cantidad a pagar.
Por lo tanto, para incrementos iguales de la variable independiente, se obtienen incrementos
iguales en la variable dependiente.
A la razón entre el incremento de la variable dependiente y la variable independiente se le denomina
pendiente de la recta y, generalmente, se representa con la letra m:

Por lo tanto,la pendiente del problema es:

Por otro lado, el resultado del valor de m es igual al coeficiente de x en el modelo obtenido.
En la gráfica anterior, es importante destacar el punto donde la recta corta al eje de las ordenadas.
En este caso es el punto (0, 200). Otra forma de conocer este punto es sustituir x=0 en el modelo
matemático de la función.
Este punto recibe el nombre de ordenadaal origen y se representa por b. En este problema en
particular b=200 y el punto (0,200) corresponde al momento en el que se firma el contrato y recibes
el automóvil para salir de la agencia.

c) Con los datos de la tabla anterior, grafica la ecuación que representa al modelo anterior.

Representación gráfica del modelo
Ejemplo 2:
El salario de un vendedor de vajillas es de $350 a lasemana, más una comisión de $50 por cada
vajilla que vende. El sueldo del vendedor se integra con el salario más la comisión. Determina:
a) El modelo algebraico que representa la cantidad que recibe de sueldo por x vajillas vendidas a la
semana.
b) Lo que le pagan si vende en una semana: 1, 2, 3, 4, 5,10 vajillas.
c) Una gráfica que represente la situación.
d) La pendiente:
e) El valor de laordenada al origen.
Solución:
a) Si x representa el número de vajillas vendidas y y el sueldo a la semana, entonces el modelo
algebraico es:
b) En la siguiente tabla se presenta el sueldo del vendedor a la semana, de acuerdo con el
número de vajillas vendidas:
x
y

1
400

2
450

3
500

4
550

5
600

c) En la siguiente gráfica se representan los datos anteriores:Representación gráfica del modelo
d) El cálculo de la pendiente.

…,10
…,850

El incremento en la variable independiente de 1 a 2 es uno, mientras el incremento en la
variable dependiente de 400 a 450 es 50. De la variable independiente entre los valores 2 y 3
es uno, mientras en la variable dependiente de 450 a 500 es 50.
La pendiente es:

e) El valor de la ordenada al origen
Al sustituir elvalor de x=0, en el modelo se tiene y=350 o b=350 . También se puede
observar en la gráfica el valor de b, recuerda que es el punto donde la línea corta al eje de las

y.
De acuerdo con lo que se analizó en los dos ejemplos anteriores, al generalizar el modelo de
una recta tiene la siguiente expresión:
Esta expresión representa una función lineal en dos variables y corresponde a la forma...