Funciones logaritmicas

FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Función logarítmica
Un estudiante quiere comprar una computadora y solo posee $1.000, a fin de incrementar su dinero decide colocarlo en un banco en un depósito a plazo fijo. En los bancos para calcular el interés que debe pagarse por el dinero depositado se utilizan modelos basados en funciones exponenciales.
Si el estudiante realiza el depósito de $ 1.000 en un bancoque ofrece una tasa de interés compuesto del 7% anual, el dinero que recibirá al finalizar cada año de su depósito se representa por:
D (f) = 1.000 (1.07)
A partir de la función encontrada podemos calcular cuanto recibirá el estudiante al finalizar el primer año de su depósito:
Df (1) = 1.000 (1.07)
Df (1) = $ 1.070
Yal finalizar el tercer año, si nunca realizo ninguna extracción, el dinero posible será de:
Df (3) = 1.000 (1.07)³
Df (3) = $ 1.225
Ahora bien... ¿Cuanto tiempo necesitara el estudiante dejar en deposito su dinero para que con los intereses generados obtenga finalmente $ 2.000 a fin de realizar la compra de un nuevoequipo de computación?
Una forma de responder a esta pregunta es realizar el grafico de la función exponencial Df (t) = 1.000 (1.07) utilizando todos los conceptos y propiedades ya estudiadas.
El grafico permite estimar que para que el dinero obtenido sea igual a $ 2.000, el tiempo que el estudiante debería dejar en el banco su depósito inicial debe ser mayor a 8 años y menor que 12 años. Sinembargo, para obtener el valor d t en forma más precisa debemos resolver la igualdad:
Df (t) = 2.000
1.000 (1.07) = 2.000
Simplificando:
(1.07) = 2

¿Como despejamos la variable t para calcular el tiempo exacto? Necesitamos encontrar una nueva función que permita “volver” o invertir lo que realiza la función exponencial, esto es:
1.07

t1.000


¿?
La función que “deshace” o invierte el resultado obtenido por un cálculo exponencial y que permite resolver la igualdad planteada es la función logarítmica.
La función f: R>₀ → R definida por f (x) = longªx que verifica:
Y = longªx si y solo si aY = X
Con a > 0 y a ≠ 1 un numero real, sellama función logarítmico de base
En palabras:
El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número.
¿Por qué los requerimientos?....
Pedimos que la base de la función logarítmica cumpla a > 0 y a ≠ 1 pues la misma es también la base de la función exponencial, que necesita estas restricciones para realizar los cálculos y obtener los resultados.Ejemplo 1.
Son funciones logarítmicas las que se expresan por la formula:
a) f (x) = long ₅ x base a = 5
b) f (x) = long ⅓ x base a = ( ⅓)
c) f (x) = 3 – long ₅ x base a = 5



Exponencial y logarítmica: funciones inversas
PARA RECORDAR
Para comenzar a trabajar con las funciones logarítmicas,repasemos el cálculo de potencias y raíces y la relación entre estas operaciones:
¿Para que valor de x la función f 8X9 = x² toma el valor 120?
La respuesta a esta pregunta se obtiene resolviendo la ecuación:
120 = x² → x = 120
En este caso para obtener el valor de x tenemos que extraer la raíz cuadrada, así se definió como operación inversa de elevar al cuadrado.
El cálculo de la raízcuadrada, posible para todo número real no negativo permitió definir la función
g (x) = + x
Observación
Notar que se considera para definir la función g únicamente el resultado positivo de la raíz, ya que al hablar de función para cada valor de la variable independiente × debe existir una única imagen y.
Estas dos funciones f y g tienen la particularidad de ser una función inversa de la...