Funciones Logaritmicas

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11 Funciones exponenciales
y logarítmicas
INTRODUCCIÓN
En esta unidad se estudian dos funciones que se aplican a numerosas situaciones cotidianas y, sobre todo, a fenómenos de la Física, la Biología o la Economía. A los alumnos les cuesta diferenciar las funciones potenciales de las funciones exponenciales e, incluso, de las funcioneslogarítmicas, por lo que habrá dedicar el tiempo necesario a trabajar este aspecto. Como aplicación de las funciones exponenciales se estudia el interés compuesto.

RESUMEN DE LA UNIDAD
• Funciones exponenciales: f (x) = a x, f (x) = a x + b y f (x) = a(x+b). • Interés compuesto. • Cálculo del logaritmo de un número. • Propiedades de los logaritmos. • Función logarítmica : y = loga x. •Relaciones entre las funciones inversas: exponencial y logarítmica.

OBJETIVOS
1. Reconocer funciones exponenciales.

CONTENIDOS
• Definición de la función f (x) = a . • Gráficas y características de las funciones: f (x) = a x + b y f (x) = a x+b.
x

PROCEDIMIENTOS
• Estudio de las características de la función f (x) = a x, si a > 1 o a < 1. • Construcción de tablas de valores y las gráficasde: f (x)= a x + b y f (x) = a x+b • Cálculo del capital final: t ⎛ r ⎞ ⎟ ⎟ Cf = C ⋅ ⎜1 + ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 100 ⎠ • Obtención de logaritmos aplicando la definición. • Cálculo de logaritmos aplicando las propiedades. • Representación de la función f (x) = loga x. • Comparación de las gráficas de las funciones: f (x) = a x y f (x) = loga x.

3. Calcular logaritmos y utilizar sus propiedades. 4. Reconocerfunciones logarítmicas. 5. Relacionar funciones exponenciales y logarítmicas.

• Definición del logaritmo de b en base a. • Propiedades de los logaritmos. • Propiedades de la función f (x) = loga x. • Comparación de las funciones inversas: f (x) = a x y f (x) = loga x.

MATEMÁTICAS 4.° B ESO

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ADAPTACIÓN CURRICULAR

2. Aplicarfunciones exponenciales al interés compuesto.

• Definición de la función capital final para el interés compuesto.

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OBJETIVO 1

RECONOCER FUNCIONES EXPONENCIALES
CURSO: FECHA:

NOMBRE:

Una función exponencial es una función de la forma f (x) = a x o y = a x, donde a es un número real positivo (a > 0) y distinto de 1 (a 0).La función exponencial f (x) = a x verifica que: • f (0) = a0 = 1, y un punto de su gráfica es (0, 1). • f (1) = a1 = a, y un punto de su gráfica es (1, a). • La función es creciente si a > 1. • La función es decreciente si a < 1.

EJEMPLO
Representa las siguientes funciones exponenciales. a) y = 2x ⎛1⎞ b) y = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ =1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
2 x

Realizamos una tabla de valores,utilizando la calculadora, por ejemplo:
:

2 = xy
−3 0,125 −3 8

2 = 0,25
−2 0,25 −2 4

⎛1⎞ ⎜ ⎟ =1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
−1 0,5 −1 2 0 1 0 1

−2

:

2 = xy
1 2 1 0,5

±

2=4
3 8 3 0,125 4 16 4 0,0625

a)

x
2x

−4 0,0625 −4
x

2 4 2 0,25

b)

x

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

16

Representamos las funciones sobre los ejes de coordenadas: a)
Y

b)

Y

1 1

y=2

x

1⎛1⎞ y =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎠ ⎝ ⎟ 1

x

X

X

1

Realiza una tabla de valores y representa las funciones exponenciales. a) y = 4x
x
−2 −1 0 1 2

y = 4x

⎛1⎞ y =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝4⎟

x

⎛1⎞ b) y = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝4⎠

x

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• Las funciones y = a x+ b son de tipo exponencial. Su gráfica se obtiene trasladando la gráfica de y = a x en b unidades hacia arriba si b es positivo, y en b unidades hacia abajo si es negativo. • Las funciones y = a x + b son también de tipo exponencial. Su gráfica se obtiene trasladando la gráfica de y = a x en b unidades hacia la izquierda si b es positivo, y en b unidades hacia la derecha si es negativo....