Funciones Logaritmicas

FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES








ESTUDIANTES
HELLEN JOHANA CASTAÑEDA MILLAN
ESTEFANIA CORTES MARTINEZ










PROFESOR
LUIS HERNAN CALDERON















Funciones logarítmicas

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa,entonces seutiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de lafunción con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.


Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Estoes, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces
logb y = x si y sólo si y = bx.

Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos:

1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es2”. Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. Demanera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo esun exponente.)

2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.


Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los númerosreales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) nolo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.


Ejemplo para discusión: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:


Solución de ecuaciones logarítmicas simples

Ejemplos para discusión:

1) Halla el valor de x si log3 9 = x.
2) Halla el valor de b si logb 8 = 3.
3) Halla el valor de y si log2 y = 7.

Ejercicio depráctica:

1) Halla el valor de y si log3 27 = y.
2) Halla el valor de b si logb 100 = 2.
3) Halla el valor de x si log2 x = -3.


Propiedades de las funciones logarítimicas: Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son números reales,entonces:

1) logb 1 = 0
2) logb b = 1
3) logb bx = x
4) logb MN = logb M + logb N

6) logb Mp = p logb M
7)logb M = logb N si y sólo si M = N

Logaritmos comunes y naturales

Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y = ln.Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.
Notación:
Logaritmo común: log x = log10 xLogaritmo natural: ln x = loge x

Ejemplo para discusión: Usa la calculadora para hallar:

1) log 2 =
2) ln .0034 =
3) log (-3.24) =


Ejercicio de práctica: Usa la calculadora para hallar:

1) log 3 =
2) ln 28.693 =
3) log(-0.438) =


El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular:




Ecuaciones exponenciales ylogarítmicas

La ecuación 2x - 1 = 7 representa una ecuación exponencial y la ecuación
log(x + 1) - log x = 3 representa una ecuación logarítmica. Las propiedades de los logaritmos nos ayudan a resolver estas ecuaciones.

Gráficas de funciones logarítmicas

Las funciones y = bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. Así que la gráfica dey = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx. La gráfica de y = bx tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = logb x tiene al eje de y comoasíntota vertical.
Ejemplo:



y = 2x y = log2 x

Las...