Funciones matemáticas

Funciones Matemáticas: Conceptos Básicos
 
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
Ver: Relaciones y funciones
En lenguaje cotidiano omás simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de laderecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:
                          1 -------->   1
                          2 -------->   4
                          3 -------->   9
                          4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
                           1 -------->   1                          2 -------->   4
                          3 -------->   9
                          4 --------> 16
                           x -------->   x2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
                                           x --------> x2     o     f(x) = x2 .
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = a2, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos
Conjunto X
Conjunto Y
Ángela
55
Pedro
88
Manuel
62
Adrián88
Roberto
90
 
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
                                              x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:
Conjunto X
Conjunto Y
Desarrollo
− 2
− 1
f(−2)  =2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1
1
f(−1)  = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =    1
0
3
f(0)    = 2(0)   + 3 =   0 + 3 =    3
1
5
f(1)    = 2(1)   + 3 =   2 + 3 =    5
2
7
f(2)    = 2(2)   + 3 =   4 + 3 =    7
3
9
f(3)    = 2(3)   + 3 =   6 + 3 =    9
4
11
f(4)    = 2(4)   + 3 =   8 + 3 =  11
 
Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de loselementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.
Ahora podemos enunciar una definición más formal:
Una función (f) es una regla que asigna acada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.
Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Generalizando, si se tiene una función f, definida...