Funciones Matemáticas

Funciones.

Definición.
Una función es un conjunto de pares ordenados de números (x, y) en los que no existen dos pares ordenados diferentes con el mismo primer numero. El conjunto de todos los valores admisibles de x se denominan dominio de la función y el conjunto de todos los valores resultantes de y recibe el nombre de codominio de la función. La manera habitual de denotar una función fes:
f: A → B
a → f(a),
Donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. Ejemplo:


Definición de gráfica de una función:Si f es una función, entonces la grafica f es el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano para los cuales (x, y) es un par ordenado de f.

Algunos tipos de función

Función lineal.
Se refiere a una función polinomial de primer grado, lo cual quiere decir que su representación en un plano cartesiano es una línea recta. La función lineal se puede escribir de la siguiente manera:Ejemplo: Graficar la función: ”y = 2x – 3”




Función cuadrática.

Es el nombre que recibe una función polinomial de segundo grado, se define como:
+ bx + c
Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero ya que si es cero nunca será una parábola, que es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistante de un punto fijo F (foco) y una recta fija l(directriz) que están en el plano.

Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5



Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3



Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces osoluciones) (eje de las X).
Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos
f (x) = 0.
Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales laexpresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.
Entonces hacemos:
ax² + bx +c = 0
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuacióncuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)
Que no corte al eje X
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero,por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Veamos:

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3
 
Representar la función f(x) = x² − 4x − 3


El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3

Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte,lo corte en dos puntos o solamente en uno.
Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada...