Funciones Matematica Basica

Problemas Resueltos Sobre Funciones
Profesor: Jimmy Lloreda
√
f (x + h) − f (x)
Ejemplo 1 Sea f (x) = −4x + 2, determine f (−1), f ( 2), f (x + h) y simplifique
.
h
Soluci´n.
o
√
√
f ( 2) = −4( 2) + 2.

f (−1) = −4(−1) + 2 = 4 + 2 = 6;

f (x + h) = −4(x + h) + 2 = −4x − 4h + 2

y

f (x + h) − f (x)
−4x − 4h + 2 − (−4x + 2)
−4x − 4h + 2 + 4x − 2
=
=
h
h
h
−4h
=
= −4
h√
f (x + h) − f (x)
.
Ejemplo 2 Sea f (x) = x2 − 2x, determine f (−2), f ( 3), f (x + h) y simplifique
h
Soluci´n.
o
√
√
√
√
f ( 3) = ( 3)2 − 2( 3) = 3 − 2 3.

f (−2) = (−2)2 − 2(−2) = 4 + 4 = 8;

f (x + h) = (x + h)2 − 2(x + h) = x2 + 2xh + h2 − 2x − 2h
2

2

2

y

2

x + 2xh + h − 2x − 2h − (x − 2x)
x + 2xh + h2 − 2x − 2h − x2 + 2x
f (x + h) − f (x)
=
=
h
h
h2xh + h2 − 2h
h(2x + h − 2)
=
=
= 2x + h − 2
h
h

3
Ejemplo 3 Sea f (x) = √ .
x
1. Determine el dominio de f
1
2. Calcule f (4), f ( 16 ), f (x + h) y

f (x + h) − f (x)
.
h

Soluci´n.
o
3
1. Por definici´n Domf = {x ∈ R : f (x) ∈ R}, luego Domf = {x ∈ R : √ ∈ R}, dado que solo
o
x
se obtienen raices cuadradas de numeros positivos, se tiene Domf = {x ∈ R : x > 0} = (0, ∞)3
2. La funci´n f esta definida por f (x) = √ , luego
o
x
3
3
f (4) = √ = ;
2
4

f (x + h) − f (x)
=
h

√

f(

1
)=
16

3
1
16

=

3
1
4

= 12;

f (x + h) = √

3
y
x+h

√
√
3 x−3 x+h
3
3
√
√
√
√
√
−
3 x−3 x+h
x
x+h x
x+h
√
=
=
√
h
h
(h)( x + h)( x)

Ejemplo 4 A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfr´ Si latemperıa.
atura del suelo es de 20◦ C y la temperatura a la altura de 1 km es de 10 ◦ C , exprese la temperatura
T (en ◦ C ) como una funci´n de la altura h (en km ) suponiendo que es un modelo lineal adecuado.
o
Adem´s trace la gr´fica de la funci´n y determine cual es la temperatura a una altura de 2,5km.
a
a
o
Soluci´n. Como suponemos que T es una funci´n lineal de h, podemos escribir
oo
T (h) = mh + b
Se dice que T = 20 cuando h = 0, entonces 20 = (m)(0) + b, de donde se sigue que b = 20.
Se nos dice asimismo que T = 10 cundo h = 1, de modo que 10 = (m)(1) + 20, por consiguiente
la pendiente es m = −10 y el modelo lineal requerido es
T (h) = −10h + 20
A una altura de h = 25km, la temperatura es T (25) = −10(25) + 20 = −5◦ C .
Ejemplo 5 Consideremos una poblaci´n debacterias en un medio nutriente homog´neo. Supongase
o
e
que al muestrear la poblaci´n en ciertos intervalos se determina que la poblaci´n se duplica cada
o
o
hora. Si el n´mero de bacterias en el tiempo t es p(t), donde t se mide en horas, y la poblaci´n
u
o
inicial es p(0) = 1000, determine un modelo matem´tico que se ajuste a esta situaci´n.
a
o
Trascurrida una hora la poblacion (p(1))es el doble de la poblaci´n inicial (p(0) ), de esta manera
o
P (1) = 2p(0) = (2)(1000)
P (2) = 2p(1) = (22 )(1000)
P (3) = 2p(2) = (23 )(1000)
P (4) = 2p(2) = (24 )(1000)

Con base en este patr´n, parece que en general,
o
p(t) = 2t × 1000 = (1000)(2t ).
Esta funci´n de poblaci´n es multiplo constante de la funci´n exponencial y = 2x , este crecimiento
o
o
o
exponencial es caracter´ıstico de lo que en realidad ocurre en la naturaleza.
Ejemplo 6 La vida media del estroncio 90,
cualquier cantidad dada de

90

90

Sr, es de 25 a˜os. Esto significa que la mitad de
n

Sr se desintegra en 25 a˜os.
n

1. Si una muestra de

90

Sr tiene una masa de 24 mg , encuentre una expresi´n para la masa m(t)
o

que queda despues de t a˜os.
n
2. Encuentre la masarestante despues de 40 a˜os.
n
Soluci´n. En un inicio la masa es de 24mg , esto es, m(0) = 24 y se reduce a la mitad durante cada
o
25 a˜os, por lo tanto, trancurrido 25 a˜os (m(25)) la masa es 24/2, de esta forma
n
n
m(0) = 24
1
2
1
m(50) =
2
1
m(75) =
2
1
m(100) =
2
m(25) =

1
× 24
2
1
11
1
× m(25) = × 24 = 2 (24) = 50 (24)
22
2
2 25
1
1
1
1
× m(50) = × 2 24 = 3...