FUNCIONES MATEMATICAS

OPERACIONES CON FUNCIONES
Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como lafunción

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.
Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)
Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g,y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)
Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a.f)(x) = a.f(x)

Ejercicio:operaciones con funciones

Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

- la función f + g se define como

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2 x - 4 = 5 x - 3.

- (f + g)(2) = 5 · 2 - 3 = 7

(f + g)(-3) = 5(-3) - 3 = -18

(f + g)(1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calculan lasimágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2,
f(2) = 3.2 + 1 = 7 (f + g)(2) = 7 + 0 = 7
g(2) = 2.2 - 4 = 0

Dadas las funciones f (x) = x ² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Resolución:

- (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x ² - 3 - (x + 3) = x ² - 3- x - 3 = x ² - x - 6

- (f - g)(1/3) = (1/3) ² - 1/3 - 6 = - 56/9
- (f - g)(-2) = (-2) ² - (-2) - 6 = - 0
- (f - g)(0) = (0) ² - 0 - 6 = - 6
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

3) Dadas las funciones f(x) = x/2 - 3 y g(x) = 2.x + 1, definir la función f.g.

Resolución:

- (f.g)(x) =f(x).g(x) = (x/2 - 3).(2.x + 1) = x ² - 11.x/2 - 3

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

Dadas las funciones f(x) = - x - 1, y g(x) = 2 x + 3, definir f/g.

Calcular las imágenes de los números - 1, 2 y 3/2 mediante f/g.

Resolución:

(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (-x - 1)/(2.x + 3)

Lafunción f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

(f/g)(-1) = 0/1 = 0

(f/g)(2) = -3/7

(f/g)(3/2) = (-5/2)/6 = -5/12

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

5) Dada la función f(x) = x ² + x - 2, calcular 3.f y f/3.Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.

Resolución:

- (3.f)(x) = 3.f(x) = 3.(x ² + x - 2) = 3.x ² + 3.x - 6

(1/3).f(x) = (1/3).(x ² + x - 2)
- (3.f)(2) = 3.2 ² + 3.2 - 6 = 12

- (3.f)(1) = 3.1 ² + 3.1 - 6 = 0

- (3.f)(0) = 3.0 ² + 3.0 - 6 = - 6
COMPOSICION DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de lasfunciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f)(x) = g[ f(x)].

La función (g o f)(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».
R f
-- → R g
-- → R

x → f(x) → g.[f(x)]

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).
Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función...