funciones matematicas

FUNCIONES MATEMÁTICAS
1. FUNCIONES
Definición:
Dada una relación ¦ definida del conjunto A en el B, se dice que dicha relación es una función si y solo si se verifican las siguientes propiedades:
1. Existencia:
Todo elemento del conjunto A está relacionado con uno del conjunto  B, en símbolos:

" x Î A $ y Î B / x ¦ y

2. Unicidad:
Toda relación entre un elemento del conjunto A yotro del B es única, en símbolos:

(x,y) Î ¦ Ù (x,z) Î ¦ Þ y=z

Dominio, Codominio e Imagen:

Dada una función  ¦: A ® B  / y = ¦(x) se llama dominio de la misma al conjunto A y  codominio  al conjunto B .
Si y = ¦(x), se dice que y es la imagen de x a través de ¦ y que x es la preimágen de y a través de ¦.

El conjunto Imagen es un subconjunto del Codominio de la función que verifica quetodos sus elementos tienen preimágen.

Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva:

 Sea una función ¦ : A ® B / y =¦(x) se dice que es inyectiva si se verifica que :

" x Î Dom ¦  :  si x1¹ x2 Þ ¦(x1) ¹ ¦ (x2)

Sea una función ¦ : A ® B / y = ¦ (x) se dice que es sobreyectiva si :

" y Î Codom ¦ , $ x Î Dom ¦ / y = ¦ (x)

Si una función ¦ : A ®B / y = ¦ (x) es inyectiva y sobreyectivaentonces es biyectiva.

Funciones Monótonas:

Función creciente:
Dada una función ¦ :A ® B / y = ¦(x) se dice que es creciente si para dos elementos cualesquiera del dominio tal que uno es menor que el otro se verifica que la imagen del menor es menor o igual a la imagen del mayor, en símbolos:

" x1 x2 Î Dom ¦  ,  si x1< x2 Þ ¦ (x1) £ ¦ (x2)

Función estrictamente creciente:
Sea ¦ :A  ® B / y = ¦ (x) se dice que es estrictamente creciente si para dos elementos cualesquiera del dominio, tal que uno es menor que el otro, se verifica que la imagen del menor es menor que la imagen del mayor, en símbolos:

" x1 x2 Î Dom ¦  ,  si x1< x2 Þ ¦ (x1) < ¦ (x2)

Función decreciente:
Dada una función ¦ : A ® B / y = ¦ (x) se dice que la función es decreciente si para dos elementoscualesquiera del dominio tal que uno sea menor que otro se verifica que la imagen del menor es mayor o igual que la imagen del mayor, en símbolos:

" x1 , x2 Î Dom ¦  ,  si x1< x2 Þ ¦ (x1) ³ ¦ (x2)

Función estrictamente decreciente:
Sea ¦ : A ® B / y=¦ (x) se dice que la función es estrictamente decreciente si para dos elementos cualesquiera del dominio tal que uno es menor que el otro severifica que la imagen del menor es mayor que la imagen del mayor, en símbolos:

" x1 , x2Î Dom ¦  ,  si x1< x2 Þ ¦ (x1) > ¦ (x2)

Función Par e Impar:
Dada una función f: A ® B / y = ¦ (x) se dice que es par si la imagen de los elementos opuestos tienen sus imágenes iguales, en símbolos:

" x Î Dom ¦ : ¦ (x) = ¦ (-x);

se dice que la función es impar si las imágenes de elementos opuestoson opuestas, en símbolos:

" x Î Dom ¦ : ¦ (x) = ¦ (-x)
2. FUNCIÓN CONSTANTE I
Definición:

Es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de números reales. Su fórmula es:

¦ :  ®   /  x = k

y su  representación gráfica es una recta paralela al eje de abscisas que intercepta al eje de ordenadas en el punto (0; k).

Clasificación:

La función constante no es inyectiva nisobreyectiva pues:

1. Sea x1 ¹ x2, por ejemplo  x1 = 1 Ù x2 = 2  Þ  ¦(x1) = k Ù ¦(x2) = k \ ¦(x1) = ¦(x2)  por lo tanto no es inyectiva.

2. Img ¦  = { k}  y Codom ¦ = Â por lo tanto no es sobreyectiva pues          y = m con m ¹ k no tiene preimágen.

Es creciente pues:

" x1, x2 Î Dom ¦, si x1 < x2 Þ ¦ ( x1) £ ¦ ( x2)

Es una función par pues:

" x Î Dom ¦ : ¦ (x) = ¦ (-x)
3. FUNCIÓNCONSTANTE II
Definición:

Es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de números reales. Su fórmula es:

¦ : Â ® Â / ¦ ( x ) = k

y su  representación gráfica es una recta paralela al eje de abscisas que intercepta al eje de ordenadas en el punto (0; k).

Clasificación:

La función constante no es inyectiva ni sobreyectiva pues:

1. Sea x1 ¹ x2, por ejemplo  x1 = 1 Ù x2...