funciones matematicas

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2013

MATEMÁTICAS II
TEMA 4: FUNCIONES
• Junio, Ejercicio 1, Opción A
• Junio, Ejercicio 1, Opción B
• Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A
• Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B
• Reserva 2, Ejercicio 1, Opción A
• Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B
• Reserva 3, Ejercicio 1, Opción A
• Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B
• Reserva 4, Ejercicio 1,Opción A
• Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B
• Septiembre, Ejercicio 1, Opción A
• Septiembre, Ejercicio 1, Opción B

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x cos( x ) + b sen( x )
es finito, calcula b y el valor del límite.
x→0
x3
MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

Sabiendo que lim

R E S O L U C I Ó N

lim

x cos x + b sen x 0
= ⇒ Aplicamos la regla de L’Hopital
x3
0lim

x cos x + b sen x 0
cos x − x sen x + b cos x 1 + b
= = lim
=
3
x
→
0
x
0
3x 2
0

x →0

x →0

Como dice que es finito, entonces, 1 + b = 0 ⇒ b = − 1 y podemos seguir aplicando la regla de
L’Hopital.
cos x − x sen x − cos x 0
− sen x − sen x − x cos x + sen x
− sen x − x cos x 0
= = lim
= lim
= =
2
x →0
x →0
3x
0 x →0
6x
6x
0
− cos− cos x + xsen x
2
1
=lim
=− =−
x →0
6
6
3

lim

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⎧⎪ x + 2 e − x si x ≤ 0
Sea f : ( − ∞ ,1) → \ la función definida por f ( x ) = ⎨
⎪⎩ a b − x si 0 < x < 1
a) Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio.
b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de
abscisa x = 0
MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N
a) Si la función es derivable, primero tiene que ser continua en el punto x = 0 , luego:
⎫
⎪
⎬⇒ 2= a b
lim+ a b − x = a b ⎪
x →0
⎭
−x
⎧1 − 2e
si x ≤ 0
⎪
Calculamos la función derivada: f '( x) = ⎨
a
⎪− 2 b − x si 0 < x < 1
⎩
lim x + 2e − x = 2

x →0 −

⎫
a
⎪
Como es derivable en x = 0 , se cumple que:
⇒2 b=a
a ⎬ ⇒ −1 = −
+
f '(0 ) = −2 b
⎪
2 b⎭
f '(0 − ) = − 1

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, tenemos que: a = 2 ; b = 1
b) La recta tangente en x = 0 , es: y − f (0) = f '(0) ⋅ ( x − 0) .

- f (0) = 2
- f '( x) = 1 − 2 e − x ⇒ f '(0) = 1 − 2 = − 1
Sustituyendo, tenemos: y − 2 = −1 ⋅ ( x − 0) ⇒ y = − x + 2
La recta normal en x = 0 es y − f (0) = −

1
⋅ ( x − 0)
f '(0)

Sustituyendo, tenemos:y − 2 = 1⋅ ( x − 0) ⇒ y = x + 2

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mx 3
Sea g la función definida por g ( x ) =
para x ≠ n .
( x − n) 2
a) Halla m y n sabiendo que la recta y = 2 x − 4 es una asíntota de la gráfica de g.
b) Determina si la gráfica de g es simétrica respecto al origen.
MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N
a) La recta y = 2 x − 4es la asíntota oblicua de la función, luego:
mx 3
2
2
g ( x)
mx 3
∞
x
n
nx
+
−
2
2 = lim
= lim
= lim 3
= =m⇒m=2
2
2
x →∞
x
→∞
x
→∞
x
x
x + n x − 2nx
∞
⎡
⎤
2x 3
2 x 3 − 2 x 3 − 2n 2 x + 4nx 2
2
x
lim
− 4 = lim [ g ( x) − 2 x ] = lim ⎢ 2
−
=
=
⎥ x →∞
2
2
x →∞
x →∞ x + n 2 − 2 nx
x
n
2
nx
+
−
⎣
⎦
2
2
− 2n x + 4nx
∞
= lim 2
= = 4n ⇒ n = − 1
2x →∞ x + n − 2nx
∞
b) La gráfica es simétrica respecto al origen si se cumple que: g ( x) = g (− x) .
g ( x) =

2x 3
( x + 1) 2

g (− x) =

2(− x) 3
2 x3
=
−
≠ g ( x) ⇒ No es simétrica respecto al origen.
(− x + 1) 2
(− x + 1) 2

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Sea f : \ → \ la función definida por f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c . Se sabe que un punto de
inflexión de lagráfica de f tiene de abscisa x = 1 y que f tiene un mínimo relativo en x = 2 de
valor − 9 . Calcula a, b y c.
MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N
Nos dan la función: f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c . Calculamos su derivada primera y segunda:
f '( x) = 3 x 2 + 2ax + b ; f ''( x) = 6 x + 2a
- Punto de inflexión en x = 1 ⇒ f ''(1) = 0 ⇒ 6 ⋅1 + 2a = 0 ⇒ a = −...