Funciones no lineales

Técnicas de Optimización

Trabajo de programación no lineal (PNL)

Índice
Introducción……………………………………….……………………………………2

Planteamiento de problemas de Programación no lineal y optimización…………...2

Ejemplos de Programación No Lineal………………………………………………...3

Diferencias entre Programación No Lineal y Programación Lineal…………….….4

Extremos Locales………………………………………………………………………5

FuncionesConvexas y Cóncavas ……………………………………………………...8

Solución de Programación no Lineal con una Variable ……………………………15

Búsqueda de la Sección Áurea……………………………………………………….22

Serie de Taylor ………………………………………………………………………..25

Polinomio de Newton……………………………………….…………………………28
Multiplicadores de Lagrange………………………………………………………...32
Programación cuadrática…………………………………………………………….37
Bibliografía……………………………………………………………………………37

Introducción

Definición: La Programación no Lineal (PNL)

Es una parte de la Investigación Operativa cuya misión es proporcionar una serie de resultados y técnicas tendentes a la determinación de puntos óptimos para una función (función objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la función objetivo, como las que intervienen en las restricciones quedeterminan el conjunto de oportunidades pueden ser no lineales. Evidentemente, la estructura del problema puede ser muy variada, según las funciones que en él intervengan (a diferencia de la Programación Lineal (PL) donde la forma especial del conjunto de oportunidades y de la función objetivo permiten obtener resultados generales sobre las posibles soluciones y facilitan los tratamientosalgorítmicos de los problemas). Ello ocasiona una mayor dificultad en la obtención de resultados, que se refleja también en la dificultad de la obtención numérica de las soluciones. En este sentido, hay que distinguir entre las diversas caracterizaciones de óptimo, que sólo se emplean como técnicas de resolución en problemas sencillos, y los métodos numéricos iterativos, cuyo funcionamiento se basa en estascaracterizaciones, para la resolución de problemas más generales.

La Programación No Lineal (PNL) provee una serie de herramientas que manipulan en forma estricta los espacios de búsqueda de solución de los problemas, aprovechan información matemática del problema para dirigirse en cada paso hacia un punto de buena calidad, mejorando de esta manera la llegada a la solución. Además, PNL permiteel modelamiento de restricciones no lineales, una característica muy útil para la formulación dada en el presente trabajo a los problemas que involucran variables enteras.

Planteamiento de problemas de Programación no lineal y optimización.

Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (Función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, enesencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal.
   
De una manera general, el problema de programación no linealconsiste en encontrar [pic] para
maximizar  [pic],
sujeta a
  [pic]
donde [pic] y las [pic] son funciones dadas de n variables de decisión.
 
No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato.  Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y lainvestigación sigue muy activa.

Ejemplos de Programación No Lineal

Ejemplo N° 1

A una compañía le cuesta c UM por unidad fabricar un producto. Si la compañía cobra p UM por unidad de producto, los clientes pedirán [pic] unidades. Para maximizar las ganancias, ¿qué precio tendría que poner la compañía?

Solución
La variable de decisión de la empresa es p
Dado que la...