Funciones Parciales

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE EL SALVADOR


























INDICE


INTRODUCCION 2

FRACCIONES PARCIALES 3

CASO 1 Q(x) 4

CASO 2 Q(x) 5

CASO 3 Q(x) 6

CASO 4 Q(x) 7

NOTAS IMPORTANTES 8




INTRODUCCION

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios enfracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.
Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial elgrado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.
Las integrales por fracciones parciales es de la forma donde:
• P(x) y Q(x) son polinomios
• El grado de P(x) es menor que el de Q(x)

NOTA
• Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
• En álgebra, fracción parcial, descomposición oextensión parcial de la fracción se utiliza para reducir el grado de él numerador o el denominador de a función racional. El resultado de la extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las fracciones, donde:
• El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y,
• El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible.Fracciones parciales.

Cuando se suman dos funciones racionales, como por ejemplo:

, Los términos se combinan mediante un denominador común (o común denominador):




Si se suman los numeradores en el lado derecho de (1), se obtiene la expresión
Racional única:



En un procedimiento importante en el estudiodel cálculo integral se necesita poder invertir el proceso. En otras palabras, se comenzaría con una expresión racional como ejemplo anterior, para descomponerla en fracciones más sencillas, 2/(x + 5) Yl/(x + 1), llamadas fracciones parciales.

Fracciones parciales El proceso algebraico para descomponer una expresión racional como el ejemplo anterior en fracciones parciales se llama descomposiciónen fracciones parciales. Por comodidad supondremos que la función racional P(x)/Q(x), Q(x) =1= Oes una fracción propia o una expresión racional propia; esto es, que el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). También supondremos una vez más que los polinomios P(x) y Q(x) no tienen factores comunes.

En la descripción que sigue, examinaremos cuatro casos de descomposición de P(x)/Q(x) enfracciones parciales. Esos casos dependen de los factores en el denominador Q(x). Cuando el polinomio Q(x) se factoriza como producto de (ax + b)n por (ax2 + bx + c)/II, n = 1,2 ... , m = 1,2, ... , donde los coeficientes a, b y e son números reales, y el polinomio cuadrático ax2 +bx + c es irreducible sobre los números reales (esto es, no se factoriza usando números reales), la expresión racionalP(x)/Q(x) se puede descomponer en una suma de fracciones parciales de la forma

Procederemos a ver algunas variantes distribuidas en casos, a los cuales nos enfrentaremos cuando hablamos de fracciones parciales.
CASO 1: Q(x) sólo contiene factores lineales no repetidos
Enunciaremos, sin demostrarlo, lo siguiente acerca del álgebra. Si se puede factorizar por completo el denominador en factoreslineales


Donde todos los aix + bi, i= 1,2,... , n son distintos (es decir, no hay dos factores iguales), entonces se pueden determinar constantes reales únicas C1, C2, ... Cn tales que




Ejemplo:
Para descomponer (x _ 1)(x + 3) en fracciones parciales individuales, supondremos lo siguiente, basado en la forma de (3), que la función racional se puede escribir en la forma:

Ahora...