Funciones Polinomiales

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Funciones polinomiales de grados 3 y 4
Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados teóricos. Función polinomial de tercer grado La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma: y = a3 x 3 + a2 x 2 +a1 x + a0 donde a3 = 0. La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica. La función polinomial de tercer grado más sencilla es: y = x3 Grafícala, encuentra sus raíces, dominio y contradominio. • Empezamos calculando sus raíces. • Para que y = 0 se requiere que x3 = 0. • En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos por símismo tres veces obtengamos cero. • El único número que satisface la condición anterior es x = 0. • Esta es la única raíz de la función. • Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales. (pag. ??) • El contradominio se calcula de la sigiuente manera:  Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo alcubo es positivotambién.  Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo. • Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho. • Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos. • La gráfica de la función está enseguida: Ejemplo 1 Definición 1

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y 1 y = x3 x

−3

−2

−1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8

1

2

Observa que la función f ( x ) = x3 puede factorizarse como y = x · x · x. Para encontrar una raíz de la función debemos contestar a la pregunta: «¿Qué número multiplicado por sí mismo tres veces es igual a cero?» Y la respuesta es obvia: «el número cero multiplicado por sí mismo nos dacero», (0)(0)(0) = 0. Es decir, x = 0 es una raíz de la función, porque f (0) = 0. Grafica la siguiente función polinomial: Ejemplo 2 y = x3 − x Calcula, además, sus raíces y su dominio y contradominio. • Empezamos calculando sus raíces. • Para eso factorizamos la expresión: y = x · ( x 2 − 1) = x · ( x + 1) · ( x − 1) • De esta factorización calculamos fácilmente las raíces de la función. • Para que elproducto de los tres factores sea cero se requiere que al menos uno de ellos sea cero. • Tenemos tres casos: x = −1, x = 0, y x = 1. • Entonces, la función corta al eje x en x = −1, x = 0 y x = 1. • De nuevo,el dominio es el conjunto de los números reales, por cerradura. • Y el contradominio también, porque cuando los valores de x crecen f ( x ) crece. • Esto ocurre para valores positivos comonegativos.
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Profesor:
Sugiera el repaso de la factorización extra-clase en caso de ser necesario.

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• La gráfica de esta función es la siguiente: y 6 5 4 3 2 1 y = x3 − x 1 2 3 x

−3

−2

−1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6

Ahora observa que la función evaluada en x = −1, o en x = 0, o en x = 1 hace que f ( x ) = 0, y que lafactorización queda: y = x 3 − x = x · ( x + 1) · ( x + 1) Es decir, si r es una raíz de la función polinomial y = f ( x ) de grado n, entonces podemos factorizarla como: Y = f ( x ) = ( x − r ) · g( x ) Donde g( x ) es otra función polinomial de grado n − 1. Sea y = Pn ( x ) una función polinomial de grado n. Si r es una de sus raíces, entonces la función polinomial puede dividirse exactamente entrex − r. Si la función se divide exactamente entre x − r entonces se puede factorizar como: y = Pn ( x ) = ( x − r ) · Qn−1 ( x ) donde Qn−1 ( x ) es otro polinomio de grado n − 1. Entonces, Pn (r ) = (r − r ) · Qn (r ) = 0 · Qn (r ) = 0 Esto nos indica que r es una raíz de la función. Esta demostración está incompleta. Pero después de entender el procedimiento de la división sintética y que éste...