Funciones racionales

Descomposición en
Fracciones simples.
Funciones Racionales
Descomposición en fracciones simples
Integración de funciones racionales
(descomponiendo en fracciones simples).
Ejemplos

Descomposición en fracciones
simples

Funciones Racionales
Definición
Ejemplo

Una función del tipo P/Q, siendo P y Q
polinomios, es una función racional.

x3  1
es una función racional.
2
x  x 1

El grado deldenominador de la función de arriba es menor que el
grado del numerador. Reescribimos la función racional de manera
más sencilla dividiendo los polinomios.
Reescribimos la función

x3  1
2

x

1

x2  x  1
x2  x  1

A la hora de integrar, es necesario siempre realizar si es posible la
división de los polinomios. Integrar la parte polinómica es sencillo,
y podemos reducir el problema deintegración a integrar funciones
racionales generales, en las que el denominador tiene mayor grado
que el numerador.
Descomposición en fracciones
simples

Integración de Funciones Racionale
1
1
2x
Integrar
las
funciones
,
y
(ejemplo) 1 x 1 x 1 x es una tarea fácil
2

2

aplicando las fórmulas básicas de integración y, en el último caso
haciendo el Cambio de Variable: u  1  x 2.

Así, obtenemos omitiendo las constantes de integración

1
1
2x
2
dx

ln
1

x
,
dx

arctg
x
y
dx

ln
1

x


 1 x
 1 x 2
 1 x 2





Por tanto:


1
1
2x 
2


dx

ln
1

x

arctg
x

ln
1

x



  C.
  1  x 1  x 2 1  x 2

3x 2  3x  2
2
Ejemplo:  3
dx

ln
1

x

arctg
x

ln
1

x
 C.




2
x  x  x 1
Con C constante de integración.
Descomposición en fracciones
simplesDescomposición en
fracciones
simples  


3x 2  3x  2
La integración de
dx  ln 1  x  arctg x  ln 1  x 2  C
3
2
x  x  x 1
estaba basada en la descomposición en fracciones simples





3x 2  3x  2
1
1
2x



x 3  x 2  x  1 1 x 1 x 2 1 x 2
de la función integrando, para facilitar la integración
La descomposición de la función (3x2+3x+2)/
Definición
(x3+x2+x+1) es unaDescomposición en fracciones
simples.
Descomponer en fracciones simples es un método para expresar una
función racional en suma de Funciones Racionales lo más sencillas
posible.
Generalmente, la Descomposición en fracciones simples es complicada
y se presentan diferentes casos. Siempre comenzaremos factorizando
el denominador. El tipo de descomposición en fracciones simples que
realicemos dependerá de losfactores del denominador. Explicaremos
cada tipo en las siguientes diapositivas.
Descomposición en fracciones
simples

Descomposición en fracciones
La Descomposición en fracciones simples de una función racional R=P/Q,
con
grad(P) < grad(Q)
depende de los factores del denominador Q.
simples
(2)
Como estamos factorizando polinomios con coeficientes reales, el
denominador Q puede tener distintostipos de factores.
1.

Simples, factores de primer grado no repetidos ax + b.

2.

Factores de primer grado (ax + b)k, k > 1.

3.

Simple, factores de segundo grado no repetidos ax2 + bx + c. Al
asumir que los factores no pueden factorizarse más, debe
suceder que b2 – 4 ac < 0.

4.

Factores de segundo grado (ax2 + bx + c)k, k>1. También aquí
b2 – 4 ac < 0.

La descomposición en fracciones simplesse calcula de la misma
forma en todos los casos de arriba. En ocasiones, es necesario
integrar las fracciones simples resultantes. Podemos realizar la
integral de manera inmediata mediante las fórmulas de integración,
aunque los cálculos para la descomposición suelen ser complicados.
Descomposición en fracciones
simples

Factores de primer grado (no
repetidos) (Raíces reales
Consideramos unafunción racional del tipo:
Caso 1
simples) P  x 
P x
Q x



 a1x  b1   a2 x  b2  L  an x  bn 

con a j  0  j ,

bi b j

para i  j , y grad  P   n  grad  Q  .
ai a j

Descomposición en fracciones simples:
Caso 1

P x

 a1x  b1   a2 x  b2  L  an x  bn 



A1
A2
An

L 
a1x  b1 a2 x  b2
an x  bn

con Ak , k  1,K , n.  ¡

Descomposición en fracciones
simples...