funciones real de variables real

Cálculo

III

(0253)

Semestre 3-2009

TEMA 2
FUNCIONES
REALES DE
VARIABLE
VECTORIAL
VARIABLE REAL

Semestre
3-2009

José Luis Quintero
Octubre 2009

Funciones Reales de
Variable Vectorial

U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO III (0253) - TEMA 2

Prof.
José Luis Quintero

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al
estudiante yfacilitar su entendimiento en el tema de funciones reales de variable vectorial
haciendo énfasis en las funciones de dos variables independientes.

La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de
repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y
propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas porprofesores,
también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo
más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo III en
Ingeniería.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora
del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:quinterodavila@hotmail.com.

INDICE GENERAL
CÁLCULO III (0253) - TEMA 2

Funciones Reales de
Variable Vectorial
Prof.
José Luis Quintero

U.C.V.

F.I.U.C.V.

2.1.

Superficies

141

2.2.

Superficies cilíndricas

143

2.3.

Superficies de revolución

145

2.4.

Construcción de superficies

147

2.5.

Superficies cuádricas

148

2.6.

Intersección de superficies

1602.7.

Ejercicios resueltos

163

2.8.

Introducción a las funciones de varias variables

169

2.9.

Dominio

169

2.10.

Límite de una función de dos variables

171

2.11.

Continuidad de una función de dos variables

175

2.12.

Derivadas parciales de una función de dos variables

175

2.13.

Derivadas direccionales y vactor gradiente

178

2.14.Ejercicios resueltos

181

2.15.

Plano tangente

191

2.16.

Diferenciabilidad de una función de dos variables

193

2.17.

Diferencial total

194

2.18.

Regla de la cadena

196

2.19.

Derivación implícita

200

2.20.

Máximos y mínimos de funciones de dos variables

202

2.21.

Optimización sujeta a restricciones

204

2.22.

Ejercicios resueltos

2082.23.

Ejercicios propuestos

224

SUPERFICIES
U.C.V.

F.I.U.C.V.

Funciones Reales de
Variable Vectorial
Pág.: 141 de 305

CÁLCULO III (0253) - TEMA 2

Prof.
José Luis Quintero

2.1. SUPERFICIES
Definición 1. Se denomina superficie al conjunto de puntos P(x, y, z) ∈ R 3 que satisfacen
una ecuación de la forma F(x, y, z) = 0 .
Ejemplo 1. Un plano Ax + By + Cz = 0, esuna superficie.
Ejemplo 2. Sean P0 (x0 , y0 , z0 ) y P(x, y, z) dos puntos del espacio; si P0 y P son tales que la
distancia entre ellos es una constante r, los puntos P forman una esfera de centro P0 y radio
r, cuya ecuación es

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 .
Si de la ecuación en forma implícita F(x, y, z) = 0 se puede despejar en forma única una
de las variables en función delas otras dos, por ejemplo z = f(x, y) (ecuación en forma
explícita), entonces la superficie definida por la ecuación F(x, y, z) = 0 se puede ver como el
gráfico de la función f.

Definición 2. La intersección de una superficie y un plano se llama traza.
Ejemplo 3. Al graficar el plano de ecuación 2x + 3y + 5z − 30 = 0 , se van a considerar las
trazas sobre los ejes coordenados. La trazasobre el plano xy se obtiene haciendo z = 0 , es
decir, 2x + 3y − 30 = 0 , la cual es una recta en el plano xy. La traza sobre el plano yz es

3y + 5z − 30 = 0 y la traza sobre el plano xz es 2x + 5z − 30 = 0 . Una parte del gráfico se
muestra en la figura 1.

Ejemplo 4. Al graficar el plano de ecuación x − 3 = 0 , se van a considerar las trazas sobre los
ejes coordenados. La traza sobre el...