Funciones reales de varias variables

Calculo vectoria
Unidad 4.- funciones reales de varias variables
4.1.- Definicion de una funcion de varias variables.

Funciones de varias variables

Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo numero, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama unafunción de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por mediode una gráfica).
Ejemplos


1. f(x, y) = x – y Función de dos variables
f(1, 2) = 1 - 2 = -1 Sustituya x por 1 y y por 2
f(2, -1) = 2 - (-1) = 3 Sustituya x por 2 y y por -1
f(y, x) = y – x Sustituya x por y y y por x
2. h(x, y, z) = x + y + xz Función de tres variables
h(2, 2, -2) = 2 + 2 + 2(-2) = 0 Sustituya x por 2, y por 2, y z por -2.

4.10.- campos vectoriales.

Uncampo vectorial sobre un subconjunto del espacio euclídeo es una función a valores vectoriales:

Decimos que es un campo vectorial Ck si como función es k veces diferenciable con continuidad en X.
Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector n- dimensional unido a cada punto en X.
[editar]Operaciones con campos vectoriales
Dados dos campos vectoriales Ck F, Gdefinidos sobre X y una función Ck a valores reales f definida sobre X, se definen las operaciones producto por escalar y adición:


Debido a la linealidad de la función (F+G):


define el módulo de los campos vectoriales Ck sobre el anillo de las funciones Ck. Alternativamente el conjunto de todos los campos vectoriales sobre un determinado subconjunto X es en sí mismo un espaciovectorial.

4.11 .- DIVERGENCIA, ROTACIONAL, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA.

Se define la divergencia de un campo vectorial en un punto como el límite

donde el límite se toma sobre volúmenes τ cada vez más pequeños que tienden al punto
La divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar.
Esta cantidad es independiente de la sucesión de volúmenes que se tomen con tal de queconverjan en el mismo punto de manera uniforme.
ROTACIONAL.



Interpretación física
Según hemos dicho antes, la divergencia puede entenderse como la densidad de fuentes de un campo vectorial, siendo positiva si el campo posee un manantial y negativa si tiene un sumidero. Por ejemplo, en el caso del flujo de calor , los manantiales representan la producción de calor y los sumideros suconsumo.
La integral de volumen de la divergencia

será la suma de todas las fuentes que hay en el interior del volumen. Teniendo en cuenta el signo, el resultado será igual a la producción de todos los manantiales, menos el consumo en los sumideros, esto es, la producción neta de calor en el volumen. Si se produce más calor del que se consume, ese calor extra debe escapar al exterior del volumen.Esa emisión al exterior es lo que representa el flujo

Por tanto, lo que nos dice el teorema de Gauss es que lo que escapa hacia el exterior equivale a la producción neta en el interior del volumen.
Interpretación geométrica.

Sea f una función derivable en todo su dominio.
En el entorno del punto a podemos aproximar la función por la recta
y(x) = f(a) + f ’(a) (x-a)
esto es, laaproximación f(x) f(a) + f ‘(a) (x-a) es correcta cuando (x-a) es pequeño.
De forma más precisa podemos decir que la función diferencia f(x) – y(x) es un infinitésimo de orden superior a (x-a):
= 0

En el límite, cuando x tiende a ‘a’, la secante tiende a la tangente a la curva en a y, por tanto, la derivada de la función representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto....