Funciones reales

Calculo Avanzado.
“Algunas funciones reales”
Introducción.
Una relación entre dos conjuntos X e Y es un conjunto de pares ordenados, cada uno de la forma (x,y) donde x es un elemento de X e y, uno de Y.
Es posible que la idea central en matemáticas sea el concepto de función. Al parecer, la palabra función fue introducida por René Descartes en 1637. Para él una función significaba tan sólocualquier potencia entera positiva de una variable x. Gottfried Wilhelm von Leibniz, quien siempre enfatizó el lado geométrico de las matemáticas, utilizó la palabra función para denotar cualquier cantidad asociada con una curva, tal como las coordenadas de un punto sobre la curva. Leonhard Euler, identificaba cualquier ecuación o fórmula que contuviera variables y constantes con la palabra función;esta idea es similar a la utilizada ahora con frecuencia en los cursos que preceden al de cálculo. Posteriormente, el uso de funciones en el estudio de las ecuaciones sobre el flujo de calor condujo a una definición muy amplia, debida a Lejeune Dirichlet, la cual describe a una función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos.
Definición de función:
Sean X e Y dos conjuntos denúmeros reales. Una función real f de una variable real x de X e Y es una correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y.
El conjunto X se llama dominio de f. El número y se denomina la imagen de x por f y se denota f(x). El recorrido de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X.
La gráfica de una función está formada portodos los puntos (x,f(x)), donde x pertenece al dominio de f.
x = distancia dirigida desde el eje y.
f(x)= distancia dirigida desde el eje x.
Una recta vertical puede cortar la gráfica de una función de x a lo sumo una vez en caso contrario la gráfica no pertenecería a la de una función.
Funciones pares.
Una función es par si para todo número x perteneciente a su dominio, el numero -x tambiénestá en el dominio y además:
f(x)= f(-x)
Además si analizamos gráficamente una función es par si, y solo si, su grafica es simétrica con respecto al eje y.
Ejemplo: f(x) = x2-5
Reemplazamos x por -x en f(x) = x2-5. Entonces:
f(-x) = (-x)2 - 5 = x2 - 5 = f(x). por lo tanto la función es par.
[pic]
Como se puede apreciar en el gráfico, la función es simétrica con respecto al eje y. Por lo tantoes par
Además son funciones pares todos aquellos polinomios de la forma xp en donde p es un número par.
Otros ejemplos son:
[pic]
[pic]
Estos son algunos pocos ejemplos de funciones pares.
Para nuestro estudio, mayormente para series e integrales de fourier, las funciones pares tienen propiedades que son muy útiles, por ejemplo para integrar una función par en un intervalo [ a, -a ]procederíamos de la siguiente manera:
a a
" f(x) dx = 2 " f(x) dx . con f(x) función par
-a 0
Esta manera de proceder nos ahorrará mucho tiempo y además facilitará el cálculo de algunas integrales que podrían resultadas complicadas de resolver.
Funciones impares
Una función es impar si para todo número x perteneciente a su dominio, el número -x también está en el dominio y además
f(-x) = -f(x)
Sianalizamos gráficamente decimos que una función es impar si, y solo si, su gráfica es simétrica respecto al origen.
Ejemplo : f(x) = x3 - x
La función es impar, ya que
f(-x)= (-x)3 - (-x) = -x3 + x = -(x3 - x) = -f(x)
[pic]
Como se aprecia en la gráfica , la función es simétrica respecto al origen por lo tanto la función es impar
Son funciones impares también aquellos polinomios de la formaxk en donde k es número impar.
Otros ejemplos:
[pic]
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Al igual que las funciones pares, las funciones impares poseen propiedades que son fundamentales para el calculo de series e integrales de fourier.
En este caso para integrar una función impar en el intervalo [ -a , a ] procedemos de la siguiente manera
a
" g(x) dx = 0 con g(x) función impar
-a
Ahora que hemos visto funciones...