Funciones Reciprocas

Páginas: 13 (3183 palabras) Publicado: 9 de agosto de 2012
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Función recíproca
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Para otros usos de este término, véase Inverso multiplicativo.

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1lleva 3 de vuelta en a.
En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremosque f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.
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[editar]Definiciones formales
Sea f una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida porla siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:
*  y
* .
De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.
[editar]Definiciones alternativas

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:
1.  y
2. ,
entonces:* Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
* Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.
* Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.
Este último punto se usa con frecuencia como definición de funcióninversa.
[editar]Notación alternativa
La notacion tradicional  puede ser confusa. Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:
*  como alternativa a .
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[editar]Propiedades algebraicas

Inversión del orden en la composición de funciones.
* La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por lafórmula

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,
* La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:

Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas:  y .
-------------------------------------------------[editar]Propiedades analíticas de funciones reales de una variable
[editar]Continuidad
* f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.
* Además, en tal caso f y g son monótonas y tienenel mismo sentido de variación (ver la figura).
[editar]Gráfica de la función inversa

Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.
* Las gráficas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobreel punto M´(y,x). Mpertenece a la curva de f si y sólo si M´ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.
* Las tangentes en M y M´ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.
[editar]Derivabilidad
* f y g son...
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