Funciones sin primitiva elemental

FUNCIONES SIN PRIMITIVA ELEMENTAL

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MORELIA

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

METODOS NUMERICOS

ASESOR:
FERNNANDO AVILA CARREON

ALUMNOS:
HÉCTOR RODRÍGUEZ AYALA
MIGUEL ÁNGEL SÁNCHEZ SANDOVAL
JORGE IGNACIO DÍAZ PÉREZ
DANIEL ABRAHAM LÓPEZ HERNÁNDEZ
09120920
09120923
09120872
09120885

CARRERA: INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

14 DE NOVIEMBRE DEL 2011INTRODUCCION

Existen ciertas funciones que después de intentar una y otra ves por varios métodos de integración convencional nos damos cuentas que no se pueden integrar, esto nos lleva a trabajar en el siguiente reporte el cual nos habla de por que ciertas funciones no son integrables por los métodos tradicionales y como se debe hacer para poder resolverlas.
Comenzamos por especificarciertos conceptos que utilizaremos mucho en adelante. Comentamos que la integral no tiene primitiva, que no podemos encontrar una función que se pueda expresar en forma de funciones elementales cuya derivada sea tal función de densidad. Esto es:
No existe una función expresable como combinación de funciones elementales tal que su derivada sea la inversa.
Eso no significa que dicha función no se puedaintegrar, ya que sabemos que cualquier función continua (y éstas lo son) es integrable. Lo que ocurre es que no podemos expresar dicha integral de una forma sencilla (por ejemplo, en función de exponenciales, senos, cosenos, logaritmos…).
Esta característica no es propiedad de esta función únicamente, sino que la tiene otros tipos de funciones. En este artículo vamos a mostrar más.
Nossituamos, pues, en el principio de los tiempos, como si nunca hubiéramos oído hablar de estas funciones, y sin más herramientas que los conocimientos teóricos aprendidos a lo largo del curso (que no se apoyan en las propiedades de estas funciones) vamos a definirlas partiendo de cero, bien mediante series de potencias, bien mediante primitivas.

FUNCIONES SIN PRIMITIVA ELEMENTAL

Como hemos visto enlos cursos de cálculo, que toda función f(x), continua en un intervalo (a, b), tiene en dicho intervalo un función primitiva, es decir, es posible determinar una función F(x) tal que F’=f. Cabe aclarar que prácticamente ningún libro o documento, explica o demuestra porque esto es así, solo se afirma que así es.
Función elemental
Antes de continuar, aclararemos lo que es una función elemental. Queaunque puede parecer un término fácilmente entendible o interpretable, las definiciones y demostraciones de esto por lo general son algo más complicadas. A continuación enlistaremos algunos criterios para que una función sea considerada como elemental:
* La suma y el producto de funciones elementales en un intervalo [a, b] es elemental en [a, b]. Lo mismo ocurre con el cociente de funcioneselementales siempre que el denominador no se anule en [a, b].
* La composición de funciones elementales en [a, b] es elemental en [a, b].
* Los polinomios son funciones elementales en cualquier intervalo [a, b].
* Si el denominador del cociente de un polinomio no se anula en el inttervalo [a, b], la funcion es elemental en dicho intervalo.
* La función ex es elemental en todointervalo [a, b].
* La función log (x) es elemental en el intervalo [a, b], si 0 < a < b.
* Las funciones sen(x) y cos (x) son elementales en [a, b], por ello la función tg(x) también es elemental en tal intervalo.
* La función arctg(x) es elemental en [a, b], por consiguiente arcsen(x) y arccos(x) también son elementales.
* Las funciones hiperbólicas senh(x), cosh(x) y tgh(x), asícomo sus inversas, son funciones elementales.
Funciones sin primitiva elemental
Si una función no entra en los criterios antes mencionados, el resultado de su integración no puede expresarse médiate un numero finito de funciones elementales y por ello no tiene primitiva elemental. Estas son algunos ejemplos de integrales que no pueden representare en forma de función elemental:
∫e^(-2x)dx,...