Funciones Trascendentes

INTRODUCCION
Las funciones trascendentes son aquellas que no satisfacen una ecucion polinomial, es decir que no puede ser expresada como una secuencia finita de operaciones algebraicas. Comenzaremos definiendo la funcion inversa, cuyo concepto se necesita para definir las inversas trigonometricas, hiperbolicas y logaritmicas. Dentro de los objetivos generales, resalta el conocer a todas lasfunciones trascendentes, su comportamiento, debido a que son funciones que no se pueden obtener aplicando operaciones algebraicas.





FUNCION INVERSA

Se llegara a la definición formal de la inversa de una función después de considerar algunas funciones particulares mas.

-Definición de función uno a uno:
Se dice que una función [pic] es uno a uno si cada numero de su contradominiocorresponde a exactamente un numero de su dominio, es decir, para toda [pic] y [pic] del dominio de [pic]

si: [pic], entonces [pic]
[pic] [pic] solo cuando [pic]

[pic]
[pic]

Para esta función, un numero de su contradominio es el valor de función de uno y solo un numero de su dominio. A tales funciones se les llama uno a uno.

Una función es uno a uno si y solo si cada rectahorizontal intersecta la grafica de una función a lo mas en un punto.

Si una función es monótona en un intervalo, entonces es uno a uno en el intervalo.

-Definicion de la inversa de una función
Si [pic] es una función uno a uno considerada como el conjunto de pares ordenados [pic], entonces existe una función [pic], llamada inversa de [pic], que es el conjunto de pares ordenados [pic], definidapor:

[pic] si y solo si [pic]

Si [pic] es una función uno a uno y tiene a[pic] como su inversa, entonces [pic] es una función uno a uno y tiene a [pic] como su inversa. Además,

[pic] para toda x en el dominio de [pic]

y

[pic] para toda x en el dominio de [pic]

Se emplea el termino funciones inversas cuando se hace referencia a una función y su inversa.

Paracalcular la función inversa:
1) Se cambian los nombres de x e y
2) Se despeja la y

-Calcular la inversa de la función [pic]
Primero intercambiamos la x y la y: [pic], y después despejamos la y:
[pic]
La función inversa de [pic] es [pic]
Vamos a comprobar que efectivamente es la inversa:

[pic]
[pic]

-Dominio de la función inversa:
Sea [pic] una función invertible, cuya inversa sea[pic], el dominio de [pic] es igual al rango o recorrido de la función [pic].

-Rango de la función inversa:
Sea [pic] una función invertible, cuya inversa sea [pic], el rango de [pic] es igual al dominio de la función [pic].

Demostración:
En la definición de la inversa de una función la condición de que [pic] debe ser uno a uno asegura que [pic] es única para cada valor de y.




Seelimina y de las ecuaciones de la definición al escribir la ecuación:

[pic]

y sustituir [pic] por [pic], obteniéndose

[pic]

donde x esta en el dominio de [pic].

Si se elimina x del mismo par de ecuciones escribiendo la ecuación,

[pic]

y reemplazando x por [pic], se tiene

[pic]

donde y esta en el dominio de [pic]. Como el símbolo empleado para la variable independientees arbitrario, se puede sustituir y por x para obtener:

[pic]

donde x esta en el dominio de [pic].

De las ecuaciones [pic] y [pic] se ve que si [pic] es la inversa de la función [pic], entonces la inversa de [pic] es [pic]. Por lo tanto:

Si [pic] es una función uno a uno y tiene a[pic] como su inversa, entonces [pic] es una función uno a uno y tiene a [pic] como su inversa. Además,[pic] para toda x en el dominio de [pic]

y

[pic] para toda x en el dominio de [pic]

Grafica de una función inversa:

[pic]
[pic]

[pic]

-Derivada de una función inversa:

Sea una función [pic] continua y monótona en el intervalo cerrado [pic] y sea [pic]. Si [pic] existe y es diferente de cero para toda x en [pic], entonces la derivada de la función inversa [pic], definida...