Funciones trigonométricas

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

El círculo de radio 1 con centro en el origen se llama círculo unitario. La ecuación para el círculo unitario es:
U2 + V2 = 1

Siendo U y V las coordenadas de un punto cualquiera sobre el círculo. Si al resolverla se satisface la ecuación, se dice que el punto sí se encuentra sobre la circunferencia del círculo unitario.

Se define arco estándar como un arcosobre el círculo unitario que empieza en la coordenada (1,0) y viaja s unidades en sentido contrario a las manecillas del reloj si es positivo y en el mismo sentido si el signo es negativo. La expresión de la circunferencia es:

C = 2πr = 2π(1) = 2π
(1,0)
T (u,v)
[fig. 7.4]
θ
s

El ángulo central es aquel cuyo vértice se encuentra en el centro del círculo y sea s la longitud del arco quecorre desde el punto (1,0) hasta el punto T (u,v) ubicado sobre la circunferencia. Por lo tanto podemos enunciar que:
“La medida en radianes de un ángulo central θ está definida como la razón de la longitud del arco s y el radio r.”
d180° = απ Donde d es la medida en grados de un ángulo y a su medida en radianes.
Por ejemplo: Convertir a radianes 165°
165°180° = απ a =165°180°π 1112π radianes
Y dado que todo número real x puede ser asociado con el ángulo central θ, es x el arco estándar que va desde la coordenada (1,0) hasta el punto terminal T(u,v).
θ = sr puesto que r = 1, θ = s1 entonces θ = s
Para determinar el ángulo θ asociado con un número real x, empezamos por representar a x comoun arco estándar que termina en un punto T (u,v) y es cortado en este punto por el ángulo θ. Y puesto que θ es x entonces se puede decir que las funciones trigonométricas de θ son las mismas de x.
(1,0)
T (u,v)
θ
S
[Fig. 7.10]
sen θ = | sen x = | v |
cos θ = | cos x = | u |
tan θ = | tan x = | vu |
cot θ = | cot x = | uv |
sec θ = | sec x = |1u |
Csc θ = | csc x = | 1v |
T(0,1)
Ejemplo: Sen π2
C= 2 π
θ
(1,0)
θ= ¼
Sen π2 = 1

Entre estas gráficas podemos encontrar las funciones periódicas, que son cuyo punto terminal siempre será un múltiplo positivo o negativo de él mismo, se define como:
f(x) = f(x + p)
Donde p es el período de la función. Por ejemplo las funciones seno y coseno son periódicas,con período 2π. La función seno está definida por medio de la segunda coordenada del punto terminal de un arco estándar: los valores para el eje horizontal de la gráfica de la función corresponden a los arcos estándar, y los valores del eje vertical corresponden a la segunda coordenada del punto terminal. Ejemplo:

π
3π2
π

π2

[Figura 7.17]
Dominio: todos los reales.
Rango: todos losreales entre -1 y 1.
Período: 2π.
Simetría: respecto al origen; impar.
Para construir una gráfica más precisa se puede construir una tabla y hacer una tabulación.

Para la función coseno, que está definido como la primera coordenada del punto terminal del arco, los valores del eje horizontal corresponden a los arcos estándar y los valores para el eje vertical corresponden a las primerascoordenadas del punto terminal.

π
π
π2

3π2

[Figura 7.20]
Dominio: todos los reales.
Rango: todos los reales entre -1 y 1.
Período: 2π.
Simetría: respecto al eje y; par.
Para construir una gráfica más precisa se puede construir una tabla y hacer una tabulación.

-3π2
π2
-π2
π
3π2
Para la función tangente (sen xcosx), donde no está definido el coseno como 0, se deben eliminar losvalores que den esa clasificación colocando asíntotas en el lugar vertical correspondiente.

-π

[Figura 7.25]
Dominio: todos los reales excepto x = π2+ kπ donde k es entero.
Rango: todos los reales.
Periodo: π.
Simetría: con respecto al origen; impar.
Asíntotas: verticales x= π2+ kπ donde k es entero.
Para construir una gráfica más precisa se puede construir una tabla y hacer una...