Funciones Trigonom Tricas

1.5

Funciones trigonométricas

Haciendo uso de las razones trigonométricas vistas anteriormente, se puede definir un nuevo tipo de función,
que llamaremos f unciones trigonom´
etricas.
Notemos que para cada ángulo en posición estándar o normal, cuya medida se encuentre expresada en
radianes (x radianes) , existe un valor asociado para cada una de las razones trigonométricas, lo que nos
permitedefinir con éstas las funciones trigonométricas
Definición Se definen las funciones trigonométricas básicas de la siguiente manera:
1. Función seno:
sen : R −→ [−1, 1]
x 7−→ sen x
donde sen x es el seno del ángulo de medida x, en radianes.
2. Función coseno:
cos : R −→ [−1, 1]
x 7−→ cos x
donde cos x es el coseno del ángulo de medida x, en radianes.
3. Función tangente:
tan : R − A −→ R
x 7−→ tanx
donde tan x es la tangente del ángulo de medida x en radianes, y
n
o
π
A = x ∈ R/x = (2k + 1) , con k ∈ Z
2

Si analizamos los valores de A como ángulos sobre el círculo trigonométrico, podemos notar que el lado
terminal de cada uno de ellos está ubicado sobre el eje y (ya sea en la parte positiva o la parte negativa
sen x
del mismo), sabemos que para estos ángulos el valor del coseno es cero,por lo que tan x =
está
cos x
indefinida si x ∈ A.

4. Función cotangente:
cot : R − B

−→ R

x 7−→ cot x
donde cot x es la cotangente del ángulo de medida x, en radianes, y
B = {x ∈ R/x = kπ, con k ∈ Z}
Si analizamos los valores de B como ángulos sobre el círculo trigonométrico, podemos notar que el lado
terminal de cada uno de ellos está ubicado sobre el eje x (ya sea en la parte positiva o laparte negativa del
cos x
está indefinida
mismo), sabemos que para estos ángulos el valor del seno es cero, por lo que cot x =
sen x
si x ∈ B.
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5. Función secante:
sec : R − A −→ R − ]−1, 1[
x 7−→ sec x
donde sec x es la secante del ángulo de medida x, en radianes, y
o
n
π
A = x ∈ R/x = (2k + 1) , con k ∈ Z
2
Nota: por la justificación dada en la función tangente tenemos que la secante estaindefinida para valores
x, tal que x ∈ A.
6. Función cosecante:
csc : R − B

−→ R − ]−1, 1[

x 7−→ csc x
donde csc x es la cosecante del ángulo de medida x, en radianes, y
B = {x ∈ R/x = kπ, con k ∈ Z}
Nota: por la justificación dada en la función cotangente tenemos que la cosecante esta indefinida para
valores x, tal que x ∈ B.
1.5.1

Propiedades de la funciones trigonométricas

Claro que todas laspropiedades e identidades vistas para las razones trigonométricas en las secciones anteriores
siguen siendo válidas al considerarlas como funciones trigonométricas. Pero además tenemos algunas otras
propiedades que estudiaremos a continuación.
Paridad de las funciones trigonométricas
Definición (paridad de una función)
Sea f una función real de variable real, se dice que f es una función par si ysólo si f (−x) = f (x) , para
toda x en el dominio de la función, y se dice que f es una función impar si y sólo si f (−x) = −f (x), para
toda x en el dominio de la función.
Se dice que las funciones coseno y secante son funciones pares, mientras que las restantes funciones trigonométricas son impares.
Observe la siguiente tabla:
sen (−α) = − sen α

cos (−α) = cos α

tan (−α) = − tan α

cot (−α) = −cot α

sec (−α) = sec α

csc (−α) = − csc α

Ejemplo 14. Utilice la calculadora y verifique que las siguientes igualdades se cumplen
4. cos (−30◦ ) = cos 30◦

1. sen (−π) = − sen π

³ π´
π
2. tan −
= − tan
6
6
µ
¶
2π
2π
3. sec −
= sec
3
3

5. cot (−60◦ ) = − cot 60◦
6. csc (−45◦ ) = − csc 45◦
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Periodicidad de las funciones trigonométricas
Definición (periodicidad de una función)
Sea f : D −→ C,una función, se dice que f es una función periódica, si existe un número real p > 0 tal
que f (x + p) = f (x) , para todo x ∈ D. Al menor número p que tiene la propiedad anterior se llama el
período de f.
Una de las características más importante de las funciones trigonométricas es su periodicidad.
Teorema (Periodicidad de las funciones seno y coseno)
Las funciones trigonométricas seno y...