Funciones trigonometricas

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo
sen  co h ca cos   h co tan   ca h co h sec   ca co cot   ca csc  



Estas definiciones son independientes del tamaño del triángulo, solamente dependen del ángulo.
10
5

sen 
8

4


3

6

4 8  5 10 3 6 cos    5 10 4 8 tan    3 6

CIRCULO UNITARIO El círculo unitario esel que tiene un radio igual a 1 y su centro está en el origen de un plano xy. Su ecuación es:

x2  y 2  1
y

1

-1

0

1

x

-1

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x

Para cualquier punto del lado terminal de un ángulo central que intercepte al círculo unitario tenemos las siguientes características: y •Lado opuesto es la ordenada (y) del punto •Lado adyacente es la abcisa (x) del punto •Elradio es uno

P( )  ( X , Y )

• Puntos sobre la circunferencia del círculo unitario
Suponga que t es un número real. Recorramos una distancia t a lo largo del círculo unitario, empezando en el punto (1, 0) y desplazándonos en sentido contrario al de las manecillas del reloj si t es positiva. Por otro lado si t es negativa, es a favor de las manecillas del reloj.
y P(x, y) 1 t>0 y 1 t 0.-1
Punto P(x, y) sobre la circunferencia determinado por t < 0.

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• Puntos sobre la circunferencia:
P(0, 1)

t = π/2

t=π

P(-1, 0)

t = 3π/2

t = 2π
P(1, 0)

P(0, -1)
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• Determinación de los puntos sobre la circunferencia
Calcule el punto sobre la circunferencia del círculo unitario determinado por cada número real. a) t = - ∏ b) t =



2
t = - π/2

P(-1, 0)

P(0, -1)

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DEFINICION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Sea t un número real y sea P(x, y) el punto del círculo unitario determinado por t. Definimos sen t = y cos t = x tan t = y / x (x ≠ 0)

csc t = 1 / y (y ≠ 0)

sec t = 1 / x (x ≠ 0)

cot t = x / y (y ≠ 0)

Como las funciones trigométricas se pueden definir en términos del círculounitario, en ocaciones se les llama funciones circulares.

Ejemplo: Evaluación de las funciones trigonométricas Calcule las seis funciones trigonométricas de cada número real.

a) t = ∏/3

 3 sen  y  2 3  x1 cos  2 3  y tan   2  3 1 3 x 2
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csc

 1 2 3   y 3 3

 1 sec   2 3 x
3

 x 12 3  cot   3 3 3 y
2

Calcule las seis funciones trigonométricas decada número real.

b) t = ∏/2
sen

  y 1 2

Las funciones; tan π/2 y sec π/2 no están definidas porque x = 0, aparece en el denominador.

 cos  x  0 2  1  1 1 csc  2 y 1  x 0 cot    0 2 y 1
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Se puede observar que algunas de las funciones trigonométricas no están definidas para ciertos números reales. Así que necesitamos determinar sus dominios.

DOMINIO DELAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS FUNCION sen, cos DOMINIO Todos los números reales

tan, sec

Todos los números reales diferentes de ∏/2 + nπ para cualquier entero n.
Todos los números reales que no sean nπ para cualquier entero n.

cot, csc

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Valores de funciones trigonométricas
Para calcular otros valores de las funciones trigonométricas tenemos que determinar lossignos. Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante que se encuentre. VEAMOS:

SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
CUADRANTE
I II III IV

FUNCIONES POSITIVAS
TODAS SEN, CSC TAN, COT COS, SEC

FUNCIONES NEGATIVAS
NINGUNA COS, SEC, TAN, COT SEN, CSC, COS, SEC SEN, CSC, TAN, COT

Seno Tangente

Todas

Coseno

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PROPIEDADES SIMÉTRICAS
El seno, lacosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares; el coseno y la secante son funciones pares. sen (- t) = - sen t = - y = - sen t cos (- t) = cos t = x = cos t tan (- t) = - tan t = - y/x = - tan t sec (- t) = sec t = 1/x = sec t cot (- t) = - cot t = 1/-y/x = - cot t csc (- t) = - csc t = 1/-y = - csc t

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Medida absoluta de ángulos: RADIANES Y GRADOS RADIANES...