Funciones trigonometricas

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Introducción: Trigonometría es una palabra de origen griego y, su significado literal es “medición de triángulos”. El origen de la trigonometría se debe buscar, en el estudio de la esfera celeste, en la cual se suponía que se desplazaban el sol, la luna y las estrellas y cuya posición se calculaba mediante la medición de ángulos. Se desarrolló en el estudio de lasrelaciones entre los ángulos y lados de un triángulo, como consecuencia de sus aplicaciones a la astronomía, la navegación y la agrimensura, lo cual hoy en día no constituyen motivos suficientes para que la trigonometría sea incluida en todos los Programas de pre-grado. En cambio, ahora sí, ya que las aplicaciones abarcan toda clase de fenómenos periódicos como oscilaciones y vibraciones: desde lasondas sonoras a un rayo de luz, desde las olas del océano a eco cardiografías o desde la teoría de comunicaciones a las vibraciones de las alas de un avión. 3.1. Razones trigonométricas:

En sus albores, su estudio se centraba en las llamadas “razones trigonométricas” y su fundamento geométrico es la semejanza de triángulos. Consideremos un triángulo rectángulo ABC:
C

C3

C2 C1

α A B1B2 B3 B

Desde su hipotenusa tracemos perpendiculares a su lado AB . Es claro que todos los triángulos rectángulos que así se forman son semejantes y, en consecuencia, sus lados homólogos son proporcionales. Se puede, entonces, escribir seis razones distintas entre los lados de cualquiera de los triángulos, cuyo valor, en cada caso, es constante para todos los triángulos:

1

BC B3C3 B2C2B1C1 cateto opuesto a α = = = = AC AC3 AC2 AC1 hipotenusa AB AB3 AB2 AB1 cateto adyacente a α = = = = AC AC3 AC2 AC1 hipotenusa BC B3C3 B2C2 B1C1 cateto opuesto a α = = = = AC AB3 AB2 AB1 cateto adyacente a α

y las razones recíprocas de éstas. Dada cualquiera de estas razones, el ángulo α queda, determinado en forma única y, además, puede ser construido con gran precisión. Estas son las razonestrigonométricas y se denotan:

cateto opuesto a α , se lee seno alfa hipotenusa cateto adyacente a α cos α = , se lee seno alfa hipotenusa cateto opuesto a α senα tan α = = , se lee tangente alfa cateto adyacente a α ' cos α senα =
Las recíprocas de éstas son: 1 cos ecα = , se lee cosecante alfa senα 1 sec α = , se lee secante alfa cos α 1 cos α = cot α = , se lee cotangente alfa tan α senαPuesto que a cada ángulo agudo corresponde un único valor de cada una de las razones trigonométricas y, recíprocamente, dado un valor de una de estas razones hay un único ángulo agudo determinado por éste, se obtuvo en forma natural, la ordenación en tablas de valores. Estas tablas se denominan tablas trigonométricas. Son pocos los ángulos agudos para los cuales los valores de las razonestrigonométricas son obtenidos por argumentos geométricos elementales entre ellos se cuentan los dados en la tabla siguiente:

αº sen α
cos α tan α

30º 1 2
3 2 3 3

45º
2 2 2 2

60º
3 2 1 2

1

3

2

En efecto:

2

30º

2
1

3
60º 1

45º

1

sen 30º =
cos 30º =

1 2

3 2 3 tan 30º = 3

2 2 2 cos 45º = 2 sen 45º =

sen 60º =

3 2

cos 60º =

1 2

tan 45º = 1tan 60º = 3

y los ángulos que son fracciones sencillas de los mismos como 18º, 22.5º, etc. Por ejemplo, para calcular el sen 15º, se procede como sigue: Se considera un triángulo rectángulo ABC según la figura:
C

15º,

2

30º

3
60º

A

1

B

3

Sea CD bisectriz del ∢C tal que:
C

15º

v

3

75º A

1− u

D

u

B

Por teorema de semejanza respecto dela bisectriz de un ángulo interior de un triángulo, se tiene que: DA CA = DB CB 1− u 2 = u 3 De donde u=
3 2+ 3

= 0.4641016

Por otro lado usando el teorema de Pitágoras, se tiene que
 3   v=  2+ 3 +   = 24 + 12 3 7+4 3
2

( 3)

2

= 1.7931509

De ésta forma se tiene que:

sen15º =

0.4641016 ≈ 0.258819 1.7931509

(el signo ≈ se lee aproximadamente igual a) Las...