funciones trigonometricas

Operaciones con funciones
Sean  f  y  g  dos funciones reales de variable real y de dominios  Dom(f) y Dom(g), respectivamente.
Suma de funciones
Llamamos suma de f y g, a una operación real que denominamos (f + g) tal que:


(f + g) (x) = f(x) + g(x)           , para todo    x ∈ [Dom(f) ∩ Dom(g)]



Llamamos función nula o función cero a aquella función que asigna a cualquier elementodel dominio el valor 0 como imagen. La expresamos por 0.


Se verifica que:


               (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x)


Por tanto, la función nula es el elemento neutro para la suma de funciones.



Dada una función f definida en D, llamamos función opuesta de f, y la expresamos por - f, a la función:


               


La función opuesta verifica que para toda funciónf se cumple que:


               f + (-f) = (-f) + f = 0


La función opuesta es el elemento opuesto para la suma de funciones.


Ejemplos de suma de funciones
Dadas las funciones  f  y  g , vamos a hallar (f + g):





               


Como  Dom(f) = R  y  Dom(g) = R - {1} , tenemos que:


               Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R ∩ [R - {1}] = R - {1}Veamos si es posible efectuar la suma de estas funciones.


Como  Dom(f) = [9 , ∞)  y  Dom(g) = (-∞ , 5] , tenemos que:


               Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = [9 , ∞) ∩ (-∞ , 5] = ∅


No hay ningún elemento que pertenezca a la intersección de los dominios de f y g, por lo que no existe f + g.
Producto de funciones
Llamamos producto de f por g, y lo expresamos por (f · g), a lafunción:


(f · g)(x) = f(x) · g(x)     , para todo   x ∈ [Dom(f) ∩Dom(g)]



Llamamos función unidad, y la expresamos por 1, a aquella función que a cada número real le asigna el número real 1.


Se verifica que:


               (f · 1)(x) = f(x) · 1(x) = f(x)


La función unidad el elemeno neutro para el producto de funciones.



Dada una función f de dominio D, tal que f(x)≠ 0 para todo valor x de D, llamamos función recíproca de f, y la expresamos por 1/f, a la función:


               


La función recíproca es el elemento inverso para el producto de funciones.


Si f es una función que se anula en algún punto de su dominio D, el dominio de 1/f es:


               Dom(1/f) = D - { x ∈ D / f(x) = 0 }


Ejemplo de producto de funciones
Dadas lasfunciones  f  y  g , vamos a hallar (f · g):





               


Como  Dom(f) = [3 , ∞)  y  Dom(g) = R - {-2} , tenemos que:


               Dom(f · g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = [3 , ∞) ∩ R - {-2} = [3 , ∞)


Ejemplo de función recíproca
Vamos a hallar la función recíproca de f, donde f es:





Hacemos (1/f)(x):


               


Vemos que:     Dom(f) = R


Y además f(x) = 0  sólamente si x = 0. Luego:     {x ∈ R / f(x) = 0} = {0}


Por tanto el dominio de la función recíproca de f es:


               
Cociente de funciones
Llamamos cociente de f y g a otra función real que denominamos por f/g, tal que:




Ejemplo de cociente de funciones
Dadas las funciones  f  y  g , vamos a hallar (f/g):





               


Observamos que  g(x) =0  sólamente si  x = 5. Luego:     {x / g(x) = 0} = {5}


Como  Dom(f) = [2 , ∞)  y  Dom(g) = R - {-3} , tenemos que:


               Dom(f / g) = [Dom(f) ∩ Dom(g)] - {x / g(x) = 0} = [ [2 , ∞) ∩ R - {-3} ] - {5} = [2 , ∞) - {5}
Dadas las funciones polinómicas  f(x) = x2 - 1   y   g(x) = 2x3 , calcula las siguientes operaciones y sus dominios:


1)   (f + g)(x)


2)   (f + g)(2)3)   (f - g)(x)


4)   (f - g)(0)

1)   (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 - 1 + 2x3


Como  Dom(f) = R   y   Dom(g) = R ,  tenemos que:


Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R



2)   (f + g)(2) = 22 - 1 + 2·23 = 19



3)   (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x2 - 1 - 2x3


Como  Dom(f) = R   y   Dom(g) = R ,  tenemos que:


Dom(f - g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R



4)   (f - g)(0) = - 1...