funciones trigonometricas

Ejercicios resueltos de
´
CALCULO
Agust´ın Valverde Ramos

***** BORRADOR *****

´ nicamente por Agust´ın Valverde
Editado electro

c Agust´ın Valverde Ramos
Dpto. de Matem´atica Aplicada
Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Inform´atica
Universidad de M´alaga
Bvd. Louis Pasteur, s/n (Campus de Teatinos)
29071 M´alaga

Introducci´
on
Notaci´on de ejercicios: cap.ej(apart)o cap.ej o ej(apart) o ej

iii

´Indice general
1. El cuerpo de los n´
umeros complejos

1

2. Sucesiones y series num´
ericas

27

3. Sucesiones y series funcionales

105

4. El espacio m´
etrico Rn .
Curvas parametrizadas

149

5. C´
alculo en varias variables

228

iv

6. Optimizaci´
on no-lineal

268

7. Integraci´
on

327

8. Ecuacionesdiferenciales ordinarias

549

v

Cap´ıtulo 1

El cuerpo de los
n´
umeros complejos

1

´meros complejos
El cuerpo de los nu

Problema 1 Hallar el m´
odulo y el argumento de cada uno de los siguientes n´
umeros:
√
7
3 + 4i;
(3 + 4i)−1 ;
(1 + i)5 ;
3 + 4i;

2

|3 + 4i|

Recordemos que el recorrido considerado para la funci´on arc tg es (−π/2, π/2); adem´as, esta funci´
on esimpar y
verifica la siguiente igualdad:
1
π
arc tg x + arc tg =
x
2
✎ |3 + 4i| =

√

32 + 42 = 5

arg(3 + 4i) = arc tg 4/3
✎ Utilizamos el apartado anterior:
|(3 + 4i)−1 | = |3 + 4i|−1 = 1/5

arg((3 + 4i)−1 ) = − arg(3 + 4i) = − arc tg 4/3

✎ Resolvemos este apartado de una forma alternativa utilizando la notaci´on de Euler y la f´ormula de Moivre
√
√
√ 1
π
1
π
5π
5π
+i sen )
(1 + i)5 = ( 2( √ + √ i))5 = ( 2(cos + i sen ))5 = 4 2(cos
4
4
4
4
2
2
√
Por tanto, |(1 + i)5 | = 4 2 y arg(1 + i)5 = 5π
4
´ lculo.
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´meros complejos
El cuerpo de los nu

3

√
√
✎ Dado que |3 + 4i| = 5, | 7 3 + 4i| = 7 5. Por otra parte, un n´
umero complejo tiene n ra´ıces n−´esimas distintas
4
cuyos m´oduloscoinciden; si α = arc tg 3 es el argumento de 3 + 4i, entonces los argumentos de las 7 ra´ıces
septimas son 71 α + 27 πk para k = 0, 1, . . . , 6.
✎ Dado que |3 + 4i| = 5 es un n´
umero real positivo, coincide con su valor absoluto y su argumento es 0.

´ lculo.
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´meros complejos
El cuerpo de los nu

4

Problema 2 Expresar cada uno de lossiguientes n´
umeros complejos en la forma “a + bi”:
eπi/2 ;

2e−πi/2 ;

3eπi ;

−e−πi ;

i + e2πi ;

✎ eπi/2 = cos π2 + i sen π2 = i.
✎ 2e−πi/2 = −2i.
✎ 3eπi = −3.
✎ −e−πi = 1.
✎ i + e2πi = i + 1.
✎ eπi/4 =

√1
2

+ i √12 .

√
1
✎ eπi/4 − e−πi/4 = 2iIm(eπi/4 ) = 2i sen π/4 = 2i √ = i 2
2
πi/2
✎ 1 − eπi/2 = 1 − i = 1 (1 − i)2 = −i
1+i
2
1+e

´ lculo.
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eπi/4 ;

eπi/4 − e−πi/4 ;

1 − eπi/2
1 + eπi/2

´meros complejos
El cuerpo de los nu

5

Problema 3 En cada caso, hallar todos los valores de x e y que satisfacen la relaci´
on dada:
x + iy = xeiy ;

x + iy = yeix ;

ex+iy = −1;

1+i
= xeiy
1−i

✎ x + iy = xeiy :
Si x = 0, entonces y = 0; si x = 0, y dado que xeiy = x cos y + ixsen y, debe ocurrir que cos y = 1 y, en tal
caso, sen y = 0 e y = x sen y = 0. Por tanto, las soluciones son todos los complejos con parte imaginaria nula.
✎ x + iy = yeix : Si y = 0, entonces x = 0; si y = 0, y dado que yeix = y cos x + iy sen x, debe ocurrir que
sen x = 1 y en tal caso cos x = 0 y x = y cos x = 0; finalmente, dado que la igualdad y = iy no es posible para
ning´
un y = 0,deducimos que la u
´nica soluci´on es (0, 0).
✎ Dado que −1 = eiπ , las soluciones de la ecuaci´on ex+iy = −1 son: x = 0 e y = π + 2kπ
✎ Dado que

1+i
1+i
= i = eiπ/2 , las soluciones de la ecuaci´on
= xeiy son: x = 1 e y =
1−i
1−i

´ lculo.
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π
2

+ 2kπ

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El cuerpo de los nu

6

Problema 4 Resolver las...