Funciones Trigonometricas

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS |
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CRISTIAN MOYA QUIROZ Prof. CARLOS ROJASTECNICO EN MINERIA Sección 202 08-10-12 |

INTRODUCCIÓNLas funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo.
DEFINICIONES RESPECTO DE UN TRIANGULO RECTANGULO

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
Elcateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo .
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) Elcoseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y lalongitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

También se pueden sacar los mismos 6 pasos para Beta tomando en cuenta los catetos opuestos y adyacentes, que serian lo contrario a como estaban con Alfa, quedaría en la misma posición la Hipotenusa.
Funciones trigonométricas de ángulos notables| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
sen | 0 | | | | 1 |
cos | 1 | | | | 0 |
tan | 0 | | 1 | | |

Demostración de funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Construcción geométrica de la suma de dos ángulos
Mirando la figura se observa:

Si (cateto opuesto del triángulo de ángulo), entonces. Se tiene entonces la expresión siguiente:

En la razón se observa fácilmenteque y pertenecen a triángulos diferentes, y si se multiplica tanto el numerador como el denominador por un lado en común a estos dos triángulos, se pueden obtener funciones trigonométricas:

Lo mismo para :

Luego:

Como ya conocemos la función seno, es fácil encontrar las funciones restantes:
La función coseno es una traslación de la función seno unidades hacia la izquierda sobre el eje :Si se traslada la función coseno unidades hacia la izquierda, se obtiene la función negativa seno.

La función se obtiene al efectuar:

Funciones trigonométricas de ángulo doble
Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se puedenpresentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo a términos de , o convirtiendo a términos de :

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:

Definiciones analíticas
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